Toán thực tế phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz - Phạm Thanh Tú

BỘTÀI LIỆU ÔN THI H-SCA ANH TÚ DẠY TOÁN

CHINH PHỤC KÌ THI H-SCA MÔN TOÁN

KÌ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC CHUYÊN BIỆT HCMUE

HCMUE Specialized Competency Assessment

TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ

TOÁN THỰC TẾVỀOXYZ

Thực hiện biên soạn Zalo Tiktok

Phạm Thanh Tú 0382164170 Anh Tú Dạy Toán

Tài Liệu Lưu Hành Nội Bộ

ANH TÚ DẠY TOÁN H-SCA Chinh Phục Kì Thi ĐGNLCB Môn Toán

Mục lục

1 TỌA ĐỘĐIỂM, VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN 2

1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 10

2.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 14

3.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 20

4.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 BÀI TOÁN PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM VỚI MẶT CẦU . . . . . . . . . . . 20

4.3 BÀI TẬP ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 26

Toán Học Là Âm Nhạc Của Lý Trí Zalo: 0382164170 1

ANH TÚ DẠY TOÁN H-SCA Chinh Phục Kì Thi ĐGNLCB Môn Toán

1 TỌA ĐỘĐIỂM, VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN

1.1 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

𝑥

𝑦

𝑧

⃗𝑖

ሬ⃗𝑗

ሬ⃗𝑘

𝑂

• Trong không gian, cho ba trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧đôi một vuông góc. Gọi ⃗𝑖, ሬ⃗𝑗, ሬ⃗𝑘lần lượt là ba vectơ đơn

vịtrên các trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦và 𝑂𝑧. Hệba trục như vậy được gọi là hệtrục tọa độDescartes vuông góc

𝑂𝑥𝑦𝑧trong không gian hay đơn giản là hệtọa độ𝑂𝑥𝑦𝑧.

• Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho điểm 𝑀. Nếu ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ 𝑂𝑀= 𝑥⃗𝑖+ 𝑦ሬ⃗𝑗+ 𝑧ሬ⃗𝑘thì ta gọi bộba số(𝑥; 𝑦; 𝑧) là tọa

độcủa điểm 𝑀đối với hệtrục tọa độ𝑂𝑥𝑦𝑧và viết 𝑀= (𝑥; 𝑦; 𝑧) hoặc 𝑀(𝑥; 𝑦; 𝑧) trong đó 𝑥là

hoành độ, 𝑦là tung độ, 𝑧là cao độcủa điểm 𝑀.

• Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧cho vectơ ሬ⃗𝑎. Nếu ሬ⃗𝑎= 𝑎1⃗𝑖+ 𝑎2ሬ⃗𝑗+ 𝑎3ሬ⃗𝑘thì ta gọi bộba số(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) là

tọa độcủa vectơ ሬ⃗𝑎đối với hệtọa độ𝑂𝑥𝑦𝑧và viết ሬ⃗𝑎= (𝑎1; 𝑎2; 𝑎3) hoặc ሬ⃗𝑎(𝑎1; 𝑎2; 𝑎3).

• Tọa độcủa điểm 𝑀là tọa độcủa vectơ ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ 𝑂𝑀, tức là

𝑀= (𝑥; 𝑦; 𝑧) ⇔ሬሬሬሬሬሬሬ⃗ 𝑂𝑀= (𝑥; 𝑦; 𝑧)

• Điều kiện đểhai vectơ bằng nhau: Cho ሬ⃗𝑎= (𝑥; 𝑦; 𝑧), ሬ⃗𝑏= (𝑥′; 𝑦′; 𝑧′). Khi đó:

ሬ⃗𝑎= ሬ⃗𝑏⇔

⎧⎪

⎨⎪⎩

𝑥= 𝑥′

𝑦= 𝑦′

𝑧= 𝑧′

• ሬሬሬሬሬ⃗ 𝐴𝐵= (𝑥𝐵−𝑥𝐴; 𝑦𝐵−𝑦𝐴; 𝑧𝐵−𝑧𝐴)

• Chiếu điểm 𝑀(𝑎; 𝑏; 𝑐) lên mặt phẳng toạđộhoặc hệtrục toạđộthì thành phần bịkhuyết bằng 0.

Chẳng hạn: 𝑀(1; 2; 3) chiếu lên 𝑂𝑥𝑦thì 𝑧= 0 nên hình chiếu khi đó là 𝑀1(1; 2; 0).

• Tứgiác 𝐴𝐵𝐶𝐷là hình bình hành khi và chỉkhi ሬሬሬሬሬሬ⃗ 𝐴𝐷= ሬሬሬሬሬ⃗ 𝐵𝐶.

• Toạđộcác điểm đặc biệt:

• 𝑀∈𝑂𝑥⇒𝑀(𝑥; 0; 0) • 𝑀∈𝑂𝑦⇒𝑀(0; 𝑦; 0) • 𝑀∈𝑂𝑧⇒𝑀(0; 0; 𝑧)

• 𝑀∈(𝑂𝑥𝑦) ⇒𝑀(𝑥; 𝑦; 0) • 𝑀∈(𝑂𝑥𝑧) ⇒𝑀(𝑥; 0; 𝑧) • 𝑀∈(𝑂𝑦𝑧) ⇒𝑀(0; 𝑦; 𝑧)

Toán Học Là Âm Nhạc Của Lý Trí Zalo: 0382164170 2

ANH TÚ DẠY TOÁN H-SCA Chinh Phục Kì Thi ĐGNLCB Môn Toán

• Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, cho hai vectơ ሬ⃗𝑎= (𝑥; 𝑦; 𝑧) và ሬ⃗𝑏= (𝑥′; 𝑦′; 𝑧′). Khi đó ta có:

– ሬ⃗𝑎+ ሬ⃗𝑏= (𝑥+ 𝑥′; 𝑦+ 𝑦′; 𝑧+ 𝑧′)

– ሬ⃗𝑎−ሬ⃗𝑏= (𝑥−𝑥′; 𝑦−𝑦′; 𝑧−𝑧′)

– 𝑘ሬ⃗𝑎= (𝑘𝑥; 𝑘𝑦; 𝑘𝑧) với 𝑘là một sốthực.

• Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, tích vô hướng của hai vectơ ሬ⃗𝑎= (𝑥; 𝑦; 𝑧) và ሬ⃗𝑏= (𝑥′; 𝑦′; 𝑧′) được xác

định bởi công thức: ሬ⃗𝑎⋅ሬ⃗𝑏= 𝑥𝑥′ + 𝑦𝑦′ + 𝑧𝑧′

– Hai vectơ ሬ⃗𝑎và ሬ⃗𝑏vuông góc với nhau khi và chỉkhi 𝑥𝑥′ + 𝑦𝑦′ + 𝑧𝑧′ = 0.

– Nếu ሬ⃗𝑎= (𝑥; 𝑦; 𝑧) thì |ሬ⃗𝑎| = ඥሬ⃗𝑎⋅ሬ⃗𝑎= ඥ𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2.

– Nếu ሬ⃗𝑎= (𝑥; 𝑦; 𝑧) và ሬ⃗𝑏= (𝑥′; 𝑦′; 𝑧′) là hai vectơ khác ሬ⃗0 thì

cos(ሬ⃗𝑎, ሬ⃗𝑏) = ሬ⃗𝑎⋅ሬ⃗𝑏

|ሬ⃗𝑎| ⋅|ሬ⃗𝑏| = 𝑥𝑥′ + 𝑦𝑦′ + 𝑧𝑧′

ඥ𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ⋅ඥ𝑥′2 + 𝑦′2 + 𝑧′2

• Trong không gian 𝑂𝑥𝑦𝑧, toạđộtrung điểm và trọng tâm được xác định như sau:

■Toạđộtrung điểm 𝑀của đoạn thẳng 𝐴𝐵là 𝑀൬𝑥𝐴+ 𝑥𝐵

2 ; 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵

2 ; 𝑧𝐴+ 𝑧𝐵

2 ൰

■Toạđộtrọng tâm 𝐺của tam giác 𝐴𝐵𝐶là 𝐺൬𝑥𝐴+ 𝑥𝐵+ 𝑥𝐶

3 ; 𝑦𝐴+ 𝑦𝐵+ 𝑦𝐶

3 ; 𝑧𝐴+ 𝑧𝐵+ 𝑧𝐶

3 ൰

Kĩ năng chuẩn hóa vectơ trong không gian Oxyz

Bài toán gốc: Cho điểm 𝐴bất kì biết tọa độ. Sau thời gian 𝑡điểm 𝐴di chuyển theo vectơ định hướng ⃗𝑢

với tốc …