Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2026 - 2027 trường chuyên ĐH Vinh - Nghệ An

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀTHI VÀO LỚP 10

CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC VINH

Năm học 2026 – 2027

Hoàng Văn Phú - Lưu Trọng Phúc - Nguyễn Đăng Quang - Phan Phương Đức

1 ĐỀTHI

Bài 1.

a) Tìm tất cảcác cặp sốthực (x, y) thỏa mãn x + y = x2 + y2 = x4 + y4.

b) Giải phương trình 2(x2 −x + 1)2 + 3x2 = 2(x2 + x + 1)2 + 3(x2 + 1)2.

Bài 2.

a) Cho đa thức P(x) = x2027 + ax5 + bx. Tìm tất cảcác sốnguyên a, b sao cho P(x) chia hết cho 2027 với mọi sốnguyên x.

b) Tìm tất cảcác sốnguyên tốp để1 + 2p + 3p là sốchính phương.

Bài 3. Xét 3 sốnguyên a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn 1

a + 1

b + 1

c = 1 a + b + c. Tìm giá trịnhỏ

nhất của P = (a −b)2 + (b −c)2 + (c −a)2.

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Điểm M di động trên cạnh BC (M khác B và C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác CME cắt AM tại điểm thứhai là N.

a) Chứng minh rằng AM · AN = AB · AF.

b) Chứng minh HN vuông góc với AM.

c) KẻMI, MJ lần lượt là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMF, CME. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với MH cắt IJ tại S. Chứng minh rằng S luôn thuộc một đường thẳng cốđịnh khi M di động trên BC.

Bài 5.

Nhân dịp kỷniệm 60 năm thành lập trường, các bạn học sinh lớp 10 chuyên Toán-Tin cùng nhau làm một logo trang trí. Logo là mô hình số60 được gắn đèn led tại 12 vịtrí ô tròn cùng dây nối như hình bên.

a) Trên mô hình số6, ởmỗi vịtrí ô tròn được lắp một bóng đèn có màu được chọn ngẫu nhiên là một trong ba màu xanh, đỏhoặc vàng. Tính xác suất đểkhông có hai bóng đèn kềnhau cùng màu (hai bóng đèn kềnhau là 2 bóng đã được nối với nhau bởi một đoạn dây không đi qua bóng đèn khác).

b) Sau khi đã gắn xong 12 bóng đèn led gồm 3 bóng màu xanh, 4 bóng màu đỏvà 5 bóng màu vàng vào 12 vịtrí ô tròn trên mô hình số60, các bạn học sinh cài đặt chương trình đổi màu cho các bóng đèn. Chương trình đổi màu là mỗi lần chọn 2 bóng khác màu rồi cùng được đổi sang màu còn lại. Hỏi có lúc nào đó cả12 bóng đèn cùng một màu hay không?

2 HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1

a) Tìm tất cảcác cặp sốthực (x, y) thỏa mãn x + y = x2 + y2 = x4 + y4.

b) Giải phương trình 2(x2 −x + 1)2 + 3x2 = 2(x2 + x + 1)2 + 3(x2 + 1)2.

Lời giải a)

Đặt s = x + y, p = xy. Khi đó đềbài tương đương với:

s = s2 −2p = (s2 −2p)2 −2p2

Khi đó thì rõ ràng có p = s2 −s

2 , lúc đó thì ta có:

s = s2 −2

s2 −s

2

!2 ⇔2(s2 −s) −(s2 −s)2 = 0

⇔(s2 −s)(s2 −s −2) = 0 ⇔s(s −1)(s + 1)(s −2) = 0 ⇔s ∈{−1; 0; 1; 2}

▶Với s = 0 thì p = 0, khi đó x + y = xy = 0 ⇔x = y = 0.

▶Với s = −1 thì p = 1, khi đó x + y = −1, xy = 1. Theo định lý Vietè thì x, y là nghiệm của phương trình t2 + t + 1 = 0. Nhưng phương trình này rõ ràng vô nghiệm do ∆= 12 −4 = −3 < 0.

▶Với s = 1 thì p = 0, khi đó x + y = 1, xy = 0 ⇒(x, y) ∈{(0, 1); (1, 0)}.

▶Với s = 2 thì p = 1, khi đó x + y = 2, xy = 1. Lúc đó x, y là nghiệm của phương trình t2 −2t + 1 = 0 ⇔(t −1)2 = 0 ⇔t = 1. Khi đó x = y = 1.

Vậy, các cặp (x, y) thỏa mãn bài toán là (x, y) ∈{(0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1)}.

Kết quả

(x, y) ∈{(0, 0); (0, 1); (1, 0); (1, 1)}

b)

2(x2 −x + 1)2 + 3x2 = 2(x2 + x + 1)2 + 3(x2 + 1)2

⇔2(x4 −2x3 + 3x2 −2x + 1) + 3x2 = 2(x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1) + 3(x4 + 2x2 + 1)

⇔2(4x3 + 4x) + 3(x2 + 1)2 −3x2 = 0 ⇔3(x2 + 1)2 + 8x(x2 + 1) −3x2 = 0

⇔(3(x2 + 1) −x)((x2 + 1) + 3x) = 0 ⇔

"3x2 −x + 3 = 0 x2 + 3x + 1 = 0

Nhận xét rằng phương trình đầu tiên vô nghiệm do ∆= 1 −4 · 32 = −35 < 0, còn phương trình

1