Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 - 2027 sở GDĐT Đà Nẵng

GIẢI ĐỀTHI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐĐÀ NẴNG 2026-2027 Người thực hiện: Phan Thanh Tịnh (K36 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng)

1 Đềbài

Thời gian: 150 phút (không kểthời gian giao đề) Ngày thi: 25/5/2026

Câu 1. (1,5 điểm)

Cho biểu thức P =

√a + 2 √

b √a + √

b + 3 √

b √a + 4 √

b − 7 √

ab + 10b a + 4b + 5 √

ab

!

· a + 12b + 7 √

ab √a + √

b 2 , với a, b > 0.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Khi P là sốnguyên, tính giá trịbiểu thức Q = a + 2025b

a + 2026b.

Câu 2. (1,5 điểm) Hai bạn An và Bình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên một đỉnh của lục giác đều ABCDEF cạnh a. a) Mô tảkhông gian mẫu và các kết quảthuận lợi của biến cốM: "Bạn An và bạn Bình chọn được hai đỉnh trùng nhau". b) Tính xác suất của biến cốN: "Bạn An và bạn Bình chọn được hai đỉnh mà khoảng cách giữa chúng bằng a √

3". Câu 3. (2,0 điểm) a) Giải phương trình √

3(x2 −x) = √

3x2 −2x −1. b) Tại một Trường Trung học cơ sởA, khối lớp 8 có sốhọc sinh nam gấp 3 lần sốhọc sinh nữ; khối lớp 9 có sốhọc sinh nam gấp 6 lần sốhọc sinh nữ. Nếu tính chung cảhai khối thì tổng sốhọc sinh là 750 và tổng sốhọc sinh nam gấp 4 lần tổng sốhọc sinh nữ. Hỏi khối lớp 8, khối lớp 9 ở Trường A, mỗi khối có bao nhiêu học sinh? Câu 4. (1,5 điểm) a) Trong mặt phẳng tọa độOxy, tìm tất cảcác sốthực âm a đểparabol (P) : y = x2 cắt đường thẳng d1 : y = x −a tại hai điểm có hoành độx1, x2 và cắt đường thẳng d2 : y = 2x −3a tại hai

điểm có hoành độx3, x4 thỏa mãn 1 x1 −x3 + 1 x2 −x3 + 1 x1 −x4 + 1 x2 −x4 = 1

3.

b) Tồn tại hay không các sốnguyên dương x, y sao cho giá trịbiểu thức x2 + x −2

y2 + 2y là bình

phương của một sốnguyên tố? Vì sao? Câu 5. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC < BC), có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Gọi P là hình chiếu vuông góc của C lên đường thẳng BI. a) Chứng minh rằng 2 · [ PIC + [ BAC = 180◦và ba điểm P, E, F thẳng hàng. b) Tia DI cắt các đường thẳng EF, PC lần lượt tại L, K. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

các đoạn thẳng BC, IK. Chứng minh rằng MN vuông góc với EF và DI

DN + NL

NI = 1.

Câu 6. (1,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Dựng hình bình hành ABDC. Trên cung nhỏBC của đường tròn (O) lấy điểm M sao cho tia DM nằm giữa tia DA và tia DC. Đường thẳng qua M, song song với đường thẳng AC, cắt cạnh AB tại P và đường thẳng qua M, song song với đường thẳng AB, cắt cạnh AC tại Q. Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ tại F (F khác A). Chứng minh rằng tam giác MBC đồng dạng tam giác PMA và AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF.

1

2 Lời giải

Lưu ý: Tác giảdùng dấu tương đương đểrút gọn sốdòng. Khi trình bày bài thi, bạn đọc hãy xuống dòng thay vì dùng dấu tương đương.

Câu 1. (1,5 điểm)

Cho biểu thức P =

√a + 2 √

b √a + √

b + 3 √

b √a + 4 √

b − 7 √

ab + 10b a + 4b + 5 √

ab

!

· a + 12b + 7 √

ab √a + √

b 2 , với a, b > 0.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Khi P là sốnguyên, tính giá trịbiểu thức Q = a + 2025b

a + 2026b.

Lời giải: a) Với a, b > 0:

P =

√a + 2 √

b √a + √

b + 3 √

b √a + 4 √

b − 7 √

ab + 10b a + 4b + 5 √

ab

!

· a + 12b + 7 √

ab √a + √

b 2

=

√a + 2 √

b √a + 4 √

b + 3 √

b √a + √

b − 7 √

ab + 10b

√a + √

b √a + 4 √

b ·

√a + 3 √

b √a + 4 √

b

√a + √

b 2

=

a + 4 √

ab + 2 √

ab + 8b + 3 √

ab + 3b −7 √

ab −10b √a + 3 √

b

√a + √

b 3

=

a + 2 √

ab + b √a + 3 √

b

√a + √

b 3 =

√a + √

b 2 √a + 3 √

b

√a + √

b 3 = √a + 3 √

b √a + √

b .

Vậy với a, b > 0 thì P = √a + 3 √

b √a + √

b .

b) Ta có P = 1 + 2 √

b √a + √

b . Mặt khác, vì a, b > 0 nên 0 < 2 √

b √a + √

b < 2 √

b √

b = 2, tức 1 < P < 3. Lại

có P nguyên nên:

P = 2 ⇔ √a + 3 √

b √a + √

b = 2 ⇔√a + 3 √

b = 2√a + 2 √

b ⇔ √

b = √a ⇔b = a.

Khi đó Q = a + 2025b

a + 2026b = a + 2025a

a + 2026a = 2026a

2027a = 2026

2027.

Vậy Q = 2026

2027. □

Câu 2. (1,5 điểm) Hai bạn An và Bình, mỗi bạn chọn ngẫu nhiên một đỉnh của lục giác đều ABCDEF cạnh a.

2