Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (vòng 2) năm 2026 trường THPT chuyên KHTN - Hà Nội

MathExpress Education www.mathexpress.vn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰNHIÊN

Đềchính thức

ĐỀTHI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2026

LỜI GIẢI MÔN TOÁN (VÒNG 2)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kểthời gian phát đề)

[ Câu I.(3,5 điểm)

1. Giải phương trình

1 + 5 3√

1 −25x2 + 3√

1 + 5x + 3√

1 −5x = 4 3p

(1 + 5x)2 + 3p

(1 −5x)2 .

2. Giải hệphương trình x3 + 8y3 + 6xy + x = 3 (x2 + 4y2) + 1, (1) x3 + 2 = x2 + 2y. (2)

{ Lời giải

1. Đặt a = 3√1 + 5x và b = 3√1 −5x thì a3 + b2 = 2 và phương trình trởthành:

1 + 5ab + a + b = 4(a2 + b2).

Ta thu được hệđối xứng loại I: (a + b)3 −3ab(a + b) = 2, 1 + 5ab + (a + b) = 4(a + b)2 −8ab.

Đặt S = a + b, P = ab.

Khi đó hệtrởthành S3 −3PS = 2 1 + 5P + S = 4S2 −8P

Từphương trình thứhai ta có P = 4S2 −S −1

13 , thay vào phương trình thứnhất ta được

S3 −3S · 4S2 −S −1

13 = 2

Hay (S + 1)3 = 27. Từđó tìm được S = 2, P = 1 suy ra a = b = 1.

Do đó x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

2. Đặt x = a + 1, 2y = b + 1 thì phương trình (1) trởthành a3 + b3 + 3ab + a −1 = 0 và phương trình (2) trởthành b −1 = a3 + 2a2 + a = a(a + 1)2.

Ta có a3 + b3 + 1 −3ab = (a + b + 1) a2 + b2 + 1 −ab −a −b

Hotline: 1900 633551 -Trang | 1-

MathExpress Education www.mathexpress.vn

Suy ra (a + b −1) a2 + b2 −ab + a + b + 1 + a = 0

Lại có b −1 = a3 + 2a2 + a = a(a + 1)2 nên

a (a + 1)2 + 1 a2 + b2 −ab + a + b + 1 + 1 = 0.

Dễdàng có (a2 + b2 −ab + a + b + 1) + 1 > 0 suy ra a = 0, b = 1. Từđó suy ra x = y = 1.

Vậy hệcó nghiệm (x; y) = (1; 1).

Hotline: 1900 633551 -Trang | 2-

MathExpress Education www.mathexpress.vn

[ Câu II.(1,5 điểm) Xét phương trình (x3 + y) (y3 + x) = 3z, trong đó x, y, z là các sốnguyên dương.

1. Chứng minh rằng khi x = y thì không tồn tại z thỏa mãn phương trình.

2. Tìm tất cảcác bộ( x, y, z ) thỏa măn phương trình với x > y.

{ Lời giải

1. Khi x = y, phương trình ban đầu trởthành:

(x3 + x)(x3 + x) = 3z ⇒(x3 + x)2 = 3z (1)

Ta có x3 + x = x(x2 + 1) luôn là sốchẵn nên 3z là sốchẵn, vô lý.

Do đó không tồn tại z thỏa mãn phương trình.

2. Từgiảthiết ta có x3 + y và y3 + x dều là l¯uy thừa của 3, đặt x3 + y = 3a và y3 + x = 3b với a, b ∈N∗.

Vì x > y ≥1 nên a > b ≥1. Do đó 3a −3b và 3a + 3b dều chia hết cho 3b. Lại có

3a + 3b = (x + y) x2 −xy + y2 + 1 , 3a −3b = (x −y) x2 + xy + y2 −1 .

Đểý rằng (x2 −xy + y2 + 1) + (x2 + xy + y2 −1) = 2(x2 + y2) nên nếu cảhai sốnày đều chia hết cho 3 thì x, y đều chia khết cho 3, khi đó 1 chia hết cho 3 (vô lý), do đó trong hai số (x2 −xy + y2 + 1) và (x2 + xy + y2 −1) có ít nhất một trong hai sốkhông chia hết cho 3. Điều này dẫn tới trong hai sốx −y và x + y có một sốchia hết cho 3b.

Lại có 0 < x −y < x + y3 = 3b nên chỉcó x + y chia hết cho 3b. Mà 0 < x + y ⩽x + y3 = 3b

nên y = 1. Khi đó x + 1 và x3 + 1 đều là lũy thừa của 3, suy ra x2 −x + 1 cũng là l¯uy thừa của 3. Mà với x ≥2 thì x2 −x + 1 ≥x + 1 nên x2 −x + 1 chia hết cho x + 1, từđây dễdàng tìm được x = 2.

Từđó ta tìm được (x, y, z) = (2, 1, 3).

Hotline: 1900 633551 -Trang | 3-