Đề thi thử vào lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2026 lần 3 trường chuyên ĐHSP Hà Nội

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Đềthi có: 01 trang

KỲTHI THỬ(ĐGNL) VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM 2026 - LẦN 3

MÔN TOÁN CHUYÊN

Dành cho các thí sinh thi thửvào chuyên Toán, chuyên Tin

Thời gian làm bài: 150 phút, không kểthời gian phát đề Họvà tên thí sinh:......................................................... Sốbáo danh:...................................................

Câu 1. (3,0 điểm)

a/ Giải hệphương trình

   

  

x + 2y + √x −y = 9 √14 −x −√x −y = 1 (với x, y ∈R).

b/ Cho a1, a2, a3, b1, b2, b3 là các sốđôi một khác nhau thuộc tập hợp {1,2,3,4,5,6}. Gọi T là tập hợp

các nghiệm lớn hơn 4 của các phương trình: x2−a1x+b1 = 0, x2−a2x+b2 = 0, x2−a3x+b3 = 0.

Chứng minh sốphần tửcủa tập hợp T nhỏhơn hoặc bằng 2.

Câu 2. (2,0 điểm) Tìm tất cảcác sốnguyên tốa, b, c và sốnguyên dương d thoảmãn điều kiện

1 a + a

b2 + b2

c3 = 1

d.

Câu 3. (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân ABC nội tiếp đường tròn (O), BE là đường

cao. Gọi M là trung điểm của BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM cắt (O) lần thứhai tại

N (khác C). Gọi P là giao điểm của MN và CE. Chứng minh

a/ Các tam giác BAN, MEN đồng dạng.

b/ Trực tâm của tam giác PBC thuộc đường tròn (O).

Câu 4. (1,0 điểm) Cho S là một tập hợp khác rỗng gồm các sốnguyên thỏa mãn đồng thời các

điều kiện sau:

◦0; 1 /∈S.

◦Nếu a, b ∈S, a ̸= b thì a −b ∈S.

◦Nếu a ∈S thì 2a ∈S và 3a ∈S.

Chứng minh tồn tại sốnguyên dương d ∈S sao cho tất cảcác phần tửthuộc S chia hết cho d.

Câu 5. (1,0 điểm) Cho bảng vuông kích thước 1 × 36 được chia thành 36 ô vuông đơn vịvà A là

tập các sốnguyên dương không vượt quá 18. Điền các sốlấy từtập A vào bảng đó sao cho mỗi ô

vuông đơn vịđược điền một sốvà mỗi sốxuất hiện đúng hai lần. Hỏi tồn tại hay không cách điền

thoảmãn điều kiện: Với mọi k thuộc A, giữa hai ô vuông đơn vịđược điền sốk luôn có đúng k ô

vuông đơn vịkhác?

———————–Hết———————– Chú ý. Thí sinh không được dùng tài liệu. Giám thịkhông giải thích gì thêm.

TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Hướng dẫn chấm có: 04 trang

KỲTHI THỬ(ĐGNL) VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NĂM 2026 - LẦN 3

MÔN TOÁN CHUYÊN

Câu Nội dung Điểm

1a

(1,5

điểm)

Điều kiện: y ≤x ≤14.

Đặt t = √x −y (t ≥0). Khi đó y = x −t2.

Thay vào hệban đầu ta được    

  

3x −2t2 + t = 9

14 −x = t2 + 2t + 1.

Suy ra

2t2 −t + 9

3 = 13 −t2 −2t ⇔t2 + t −6 = 0 ⇔t = 2 hoặc t = −3.

Vì t ≥0 nên t = 2. Ta có x = 2 · 22 −2 + 9

3 = 5, y = 5 −22 = 1.

Thửlại thấy thoảmãn.

Vậy hệphương trình có nghiệm duy nhất (x; y) là (5; 1).

1,5

1b

(1,5

điểm)

Xét phương trình x2 −ax + b = 0 với a, b ∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}, a ̸= b.

Phương trình có nghiệm khi và chỉkhi ∆= a2 −4b ≥0.

Áp dụng định lý Viète, ta có    

  

x1 + x2 = a

x1x2 = b.

Nếu phương trình có 2 nghiệm x1, x2 > 4 thì a = x1 + x2 > 8 (vô lý). Do đó mọi

phương trình bậc hai trong ba phương trình chỉcó tối đa một nghiệm lớn hơn 4.

Vì a, b > 0 nên x1, x2 > 0. Giảsửphương trình x2 −ax + b = 0 có một nghiệm

x0 > 4. Khi đó

a = x0 + b

x0 > 4 + 1

x0 > 4.

Suy ra a ∈{5, 6}. Do đó |T| ≤2. Xét các phương trình

x2 −5x + 1 = 0, x2 −6x + 2 = 0, x2 −3x + 4 = 0.

Khi đó T =

( 5 + √

21 2 , 3 + √

7

)

.

Vậy sốphần tửlớn nhất của tập T là 2.

1,5