Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2025 - 2026 trường chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng

GIẢI ĐỀTHI TUYỂN SINH MÔN TOÁN THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÀ NẴNG 2025-2026 Người thực hiện: Phan Thanh Tịnh (K36 THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng)

1 Đềbài

Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A = x −1 x −3√x + 2 −x −4√x + 14

x + √x −6 + x −4√x

x + 3√x

· (x −2√x) với

x > 0, x ̸= 1 và x ̸= 4. Rút gọn biểu thức A và tính giá trịcủa A khi x là tổng của 45 sốtựnhiên lẻ đầu tiên.

Bài 2. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho các điểm A(5; 0), B(5; 5), C(0; 5), với O là gốc tọa độ. Bạn An chọn ngẫu nhiên một điểm M có hoành độvà tung độlà các sốnguyên, nằm trên các cạnh hoặc nằm trong hình vuông OABC.

a) Mô tảkhông gian mẫu của phép thửtrên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

b) Tính xác suất của biến cốA: “Bạn An chọn được điểm M sao cho diện tích hình vuông OABC nhỏhơn 5 lần diện tích tam giác OAM”.

Bài 3. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 3(4x2 −1) = x 2 3√

x2 + 3x + 1 .

b) Trong một đợt thửnghiệm giải toán bằng phần mềm trí tuệnhân tạo (AI), tổng sốcâu hỏi mà hai phần mềm C và D phải trảlời là 200 câu hỏi. Kết quảcho thấy: phần mềm C trảlời đúng 90 câu, phần mềm D trảlời đúng 85 câu và tỉlệtrảlời đúng của phần mềm C cao hơn 5% so với tỉlệtrảlời đúng của phần mềm D. Tính sốcâu hỏi mà mỗi phần mềm đã trảlời.

Bài 4. (1,5 điểm)

a) Cho phương trình 4x2 −8(m + 1)x −2m −9 = 0, với m là tham số. Chứng minh rằng với mọi giá trịcủa m thì phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

2|x1 −x2| ≥ √

3(1 + 2x1)(1 + 2x2) + 8 √

3.

b) Xét các sốnguyên x, y, z và sốnguyên dương n thỏa mãn: 2x2 + 10xy + 13y2 = 29nz. Chứng minh rằng luôn biểu diễn được z dưới dạng tổng hai bình phương của hai sốnguyên.

Bài 5. (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Hai tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại M. Các đường thẳng EF và MB cắt nhau tại N. Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng BN song song với đường thẳng DF.

b) Ba đường thẳng DE, KN, HM đồng quy.

Bài 6. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và ngoại tiếp đường tròn (I). Các tia AI, BI và CI lần lượt cắt (O) tại điểm thứhai là D, E và F.

a) Chứng minh rằng đường thẳng EF là đường trung trực của đoạn thẳng AI.

b) Đường thẳng AB cắt các cạnh FE và FD lần lượt tại G và H, đường thẳng BC cắt các cạnh DF và DE lần lượt tại M và N, đường thẳng CA cắt các cạnh ED và EF lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng √

AB + BC + CA = √

GH + √

MN + √PQ.

1

2 Lời giải

Bài 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức A = x −1 x −3√x + 2 −x −4√x + 14

x + √x −6 + x −4√x

x + 3√x

· (x −2√x)

với x > 0, x ̸= 1 và x ̸= 4. Rút gọn biểu thức A và tính giá trịcủa A khi x là tổng của 45 sốtự nhiên lẻđầu tiên.

Lời giải: Với x > 0, x ̸= 1 và x ̸= 4:

A = x −1 x −3√x + 2 −x −4√x + 14

x + √x −6 + x −4√x

x + 3√x

· (x −2√x)

= (√x −1)(√x + 1)

(√x −1)(√x −2) − x −4√x + 14 (√x −2)(√x + 3) + √x(√x −4) √x(√x + 3)

· (x −2√x)

= √x + 1 √x −2 − x −4√x + 14 (√x −2)(√x + 3) + √x −4 √x + 3

· (x −2√x)

= (√x + 1)(√x + 3) −(x −4√x + 14) + (√x −4)(√x −2)

(√x −2)(√x + 3) · √x(√x −2)

= (x + 4√x + 3 −x + 4√x −14 + x −6√x + 8)√x √x + 3

= (x + 2√x −3)√x √x + 3 = (√x + 3)(√x −1)√x √x + 3 = (√x −1)√x = x −√x.

Vậy với x > 0, x ̸= 1 và x ̸= 4 thì A = x −√x. (1) Trong 45 sốtựnhiên lẻđầu tiên, sốnhỏnhất là 1 và sốlớn nhất là 1 + (45 −1) · 2 = 89.

Khi x là tổng của 45 sốtựnhiên lẻđầu tiên thì x = 1 + 89

2 · 45 = 452.

Khi đó, x > 0, x ̸= 1 và x ̸= 4 nên theo (1), A = 452 − √

452 = 452 −45 = 1980. Vậy khi x là tổng của 45 sốtựnhiên lẻđầu tiên thì A = 1980. □

Bài 2. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho các điểm A(5; 0), B(5; 5), C(0; 5), với O là gốc tọa độ. Bạn An chọn ngẫu nhiên một điểm M có hoành độvà tung độlà các sốnguyên, nằm trên các cạnh hoặc nằm trong hình vuông OABC.

a) Mô tảkhông gian mẫu của phép thửtrên. Không gian mẫu có bao nhiêu phần tử?

b) Tính xác suất của biến cốA: “Bạn An chọn được điểm M sao cho diện tích hình vuông OABC nhỏhơn 5 lần diện tích tam giác OAM”.

Lời giải: a) Kết …