Phương pháp giải các dạng toán căn bậc hai, căn bậc ba

MỤC LỤC

PHẦN ĐẠI SỐ ........................................................................................................................... 2

Chương I. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA ............................................................................... 2

§1. CĂN BẬC HAI ................................................................................................................... 2

§2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A = ........................................ 2

§3. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG .......................................... 10

§4. LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG ............................................ 20

§6. §7. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI .................... 26

§8. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI ............................................... 37

§9. CĂN BẬC BA .................................................................................................................. 50

PHẦN ĐẠI SỐ

Chương I. CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA

§1. CĂN BẬC HAI

§2. CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC 2 A A =

A. TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 1. Căn bậc hai số học

Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.

Số 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0.

Với a 0 ≥ , ta có:

2 x 0 a x x a.

≥  = ⇔ = 

Với hai số a và b không âm, ta có a < b a b. ⇔ <

2. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số , người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.

A xác định ( hay có nghĩa ) khi A lấy giá trị không âm.

Ta có 2 nÕu A 0

nÕu A < 0.

A A A A

 ≥  = = − 

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1. TÌM CĂN BẬC HAI SỐ HỌC CỦA MỘT SỐ

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa căn bậc hai số học của một số không âm:

2 x 0 a x x a.

≥  = ⇔ = 

Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai số học rồi tìm căn bậc hai của:

a) 121 b)

2 2 5   −    

Giải

a) Ta có 2 vì 11 0 và 11 121. 121 11 ≥ = =

Do đó số 121 có hai căn bậc hai là 11 và -11.

b)

2 2 2 5 5   − =    

vì 2 0 5 ≥ và

2 2 2 2 . 5 5     = −        

Do đó số

2 2 5   −    

có hai căn bậc hai là 2 5 và 2 5 − .

Ví dụ 2. Tính giá trị của biểu thức: 0,09 7. 0,36 3 2,25. + −

Giải

Ta có 0,09 7. 0,36 3 2,25 + −

0,3 7.0,6 3.1,5 0,3 4,2 4,5 0 = + − = + − =

Ví dụ 3. Giá trị của biểu thức sau là số vô tỉ hay hữu tỉ: 9 9 1 - .18? 16 16

     

Giải

9 9 25 9 5 3 1 - .18 - .18 .18 9 3. 16 16 16 16 4 4

      = = − = =            

Vậy giá trị của biểu thức đã cho là một số hữu tỉ, hơn nữa còn là một số tự nhiên.

Dạng 2. SO SÁNH CÁC CĂN BẬC HAI SỐ HỌC

Phương pháp giải

Dựa vào tính chất : Nếu , 0 a b ≥ thì . a b a b < ⇔ <

Ví dụ 1. Không dung máy tính hoặc bảng số , hãy so sánh 8 và 65.

Giải

Cách 1: Ta có 8 64 = . Vì 64 65 < nên 8 65 < .

Cách 2: Vì ( )

2 2 8 64; 65 65 = =

Nên ( )

2 2 8 65 < , suy ra 8 < 65.

Cách giải này dựa vào tính chất: Nếu a, b > 0 và 2 2 a b < thì a < b.

Như vậy, để so sánh hai số dương ta có thể so sánh các bình phương của chúng.

Ví dụ 2. Không dung máy tính hoặc bảng số , hãy so sánh 15 1 − và 10.

Giải

Ta có 15 1 − < 16 1 − = 4 – 1 = 3,

10 > 9 = 3.

Vậy 15 1 − < 10.

Ví dụ 3. Với a < 0 thì số nào lớn hơn trong hai số a − và 2a − ?

Giải

Ta có -1 > -2 nên –a < -2a (vì a < 0 ).

Do đó a − < 2a − .

Dạng 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Phương pháp giải

Với 0 a ≥ :

• 2 khi x = x a a = ± .

• 2 khi x = a x a = .

• 2 khi 0 x < a x a < ≤ .

Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 3 0,75. x =

Giải

Ta có 2 2 3 0,75 0,25. x x = ⇔ =

Do đó 0,25 0,5. x = ± = ±

Ví dụ 2. Giải phương trình: 2 3 12. x =

Giải

ĐKXĐ: 0. x ≥

Ta có : 2 3 12 3 6 3 36 12 x x x x = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ( thỏa mãn điều kiện).

Ví dụ 3. Tìm số x không âm, biết 1 5 10. 2 x <