Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác vuông Lư Sĩ Pháp

Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp

1 Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899

CHƯƠNG I. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

---0o0--- §1. MỘT SỐ HỆ THỨC VỂ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG A. KIẾN THỨC CẦN NẮM Quy ước

Cho ∆ABC vuông tại A, có đường cao AH. Cạnh huyền BC a = Cạnh góc vuông ; AB b AC c = = Hình chiếu của cạnh AB trên BC là BH b′ = Hình chiếu của cạnh AC trên BC là CH c′ = Đường cao AH h =

1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền Định lí 1. Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền Tức là:  = 2 . AB BC BH hay 2 b ab′ =  = 2 . AC BC CH hay 2c ac′ = Định lí Py – ta – go Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông Tức là :  + = 2 2 2 AB AC BC hay 2 2 2 a b c = + 2. Một số hệ thức liên quan tới đường cao Định lí 2. Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền Tức là:  2 . AH BH HC = hay 2 . h b c ′ ′ = Định lí 3. Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng Tức là:  . . AB AC BC AH = hay . . b c a h = Định lí 4. Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông.

Tức là:  = + 2 2 2 1 1 1 AH AB AC hay = + h b c 2 2 2 1 1 1

B. BÀI TẬP Bài 1. Tính chiều cao của cây trong hình bên, biết rằng người đo đứng cách cây 2,25m và khoảng cách từ mắt người đo đến mặt đất là 1,5m.

HD Giải Xét tam giác ACD vuông tại D có đường cao BD và 1,5 AB m =

Trọng tâm toán 9 I Love Math GV. Lư Sĩ Pháp

2 Trọng tâm toán 9 I Love Math _0916620899

Ta có: 2 2 . (2,25) 1,5. 3,375 BD AB BC BC BC m = ⇔ =  = Vậy chiều cao của cây là 1,5 3,375 4,875 AC AB BC m = + = + = Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A , có 6 , 8 . AB cm AC cm = = Tính độ dài cạnh huyền và đường cao . AH HD Giải Xét tam giác ABC vuông tại A , ta có

2 2 2 2 2 6 8 100 BC AB AC = + = + = Suy ra: 10 BC cm =

Ta lại có:

2 2

2 2 2 2 2 1 1 1 AB AC AH AH AB AC AB AC = +  = +

Vậy

2 2

2 2 6 .8 4,8 6 8 AH cm = = + Bài 3. Hãy tìm x và y trong mỗi hình sau a) b) c)

d) e) f)

g) h)

k)

Bài 4. Trong một tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền. Bài 5. Đường cao của tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Tính các cạnh góc vuông của tam giác này. Bài 6. Cho hình vuông . ABCD Gọi I là một điểm cố định giữa A và B . Tia DI và CB cắt nhau tại K . Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI và cắt BC tại .L Chứng minh rằng a) Tam giác DIL là tam giác cân

b) Tổng 2 2 1 1 DI DK + không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB .

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao . AH Hãy tính lần lượt độ dài các đoạn , , , BH CH AH AC nếu biết: a. 6 ; 10 . AB cm BC cm = = b. 20 ; 25 . AB cm BC cm = =

6cm 8cm

H C B

A

y x

6 8

H C B

A

y x

12

20 H C B

A

y x

1 4 H C B

A

7

5 y x

H

C

B

A

y

x

2

4 H C B

A

2

1

y

x

H

C

B

A

y x

9 4

H C B

A

x

y

2

y

x H

C

B

A

16

12

y

x

H

C

B

A