Tài liệu lớp 9 môn Toán chủ đề vị trí tương đối của hai đường tròn

1

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Tính chất của đường nối tâm

- Đường nối tâm (Đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai

đường tròn

Chú ý:

- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

- Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

2. Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính , R r

Vị trí tương đối của hai đường

tròn ( ) ; O R và ( )( ) '; O r R r ≥

Số

điểm

chung

Hệ thức Hình vẽ

Cắt nhau 2 ' R r OO R r − < < +

Tiếp

xúc

Tiếp xúc trong 1 ' 0 OO R r = − >

Tiếp xúc ngoài ' OO R r = +

O' O

R

r

R r

O' O

r R

O' O

2

Khôn

g cắt

nhau

Ngoài nhau 0 ' OO R r > +

Đựng nhau 0 ' OO R r ≠ < −

' OO O ≡

3. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó

a) Hai đường tròn cắt nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài

b) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài có hai tiếp tuyến chung ngoài và một tiếp tuyến chung (hình

vẽ b)

c) Hai đường tròn tiếp xúc trong chỉ có một tiếp tuyến chung (hình c)

d) Hai đường tròn ngoài nhau có hai tiếp tuyến chung ngoài và hai tiếp tuyến chung trong (hình

vẽ d)

e) Hai đường tròn chứa nhau không có tiếp tuyến chung

f) Hai đường tròn đồng tâm không có tiếp tuyến chung

Hình b

O' O

O' O

O'

O

r R

O' O

3

Hình a

Hình c

Hình d

B. Bài tập và các dạng toán

Dạng 1: Các bài toán liên quan đến hai đường tròn tiếp xúc nhau

Cách giải: Áp dụng các kiến thức về vị trí tương đối của hai đường tròn liên quan đến trường

hợp hai đường tròn tiếp xúc nhau   = ABH ANH

Bài 1:

Cho đường tròn ( ) O và ( )' O tiếp xúc ngoài

tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC với

B thuộc ( ) O , C thuộc ( )' O . Tiếp tuyến

chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung

ngoài BC ở I

a. Vẽ đường kính BOD và ' CO E . Chứng

minh các bộ ba điểm , , B A E và , , C A D

thẳng hàng

b. Chứng minh , BAC DAE ∆ ∆ có diện tích

bằng nhau

c. Gọi K là trung điểm của DE . Chứng

minh đường tròn ngoại tiếp ' OKO ∆ tiếp xúc

với BC

d. Cho 4,5 ; ' 2 OA cm O A cm = = . Tính

, , AI BC CA

O' O

O' O

I

O' O

C

D

E

K

B

4

Lời giải

a. Xét ABC ∆ , có BI IC AI ABC = = ⇒∆ vuông tại  0 90 A BAC ⇒ =

Lại có:   0 90 BAD CAE = = ⇒ đpcm

b. Ta có: ( ) . . ABC DAE BAD EAC gg AD AE AB AC S S ∆ ∆ ⇒ = ⇒ = #

c. Có ' OIO K ◊ là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông)

Vậy đường tròn ngoại tiếp ' OKO ∆ chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật, có đường

kính là IK mà: IK BC I ⊥ ≡

d. Ta có: 2 . ' 4,5.2 9 3 AI OAO A AI cm = = = ⇒ =

Xét  0 2 2 2 1 1 1 1 1 5 ( 90 ) 2,68 9 36 36 BCD B AB cm AB BC BD ∆ = ⇒ = + = + = ⇒ =

Xét  0 2 2 2 2 2 2 ( 90 ) 36 7,2 5,4 ABC A BC AB AC CA BC AB AC cm ∆ = ⇒ = + ⇒ = − = − ⇒ =

Bài 2:

Cho hai đường tròn ( ) ; O R và ( ) '; O r tiếp xúc

ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung

ngoài BC với ( ) ( ) , ' B O C O ∈ ∈ . Đường thẳng

vuông góc với ' OO kẻ từ A cắt BC ở M

a) Tính MA theo R và r

b) Tính diện tích tứ giác ' BCO O theo R và

r

c) Tính diện tích BAC ∆ theo R và r

d) Gọi I là trung điểm của ' OO . Chứng minh

rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) ;I IM

Lời giải

a) Chứng minh được:  0 ' 90 O MO =

Aps dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta tính được: MA Rr =

b) Chứng minh ( ) ' BCOO S R r Rr = +

M B

C

O' A I O