Tài liệu lớp 9 môn Toán chủ đề góc nội tiếp

1

GÓC NỘI TIẾP

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa: Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh

chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp (  ACB ).

Lưu ý: Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị

chắn

2. Định lý: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng

nửa số đo của cung bị chắn.

 1 2 = ACB sđ  1 2 = AB sđ  AOB

3. Hệ quả: Trong một đường tròn

a) Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau và ngược lại.

    = ⇔ = ADB MNP AB MP

b) Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

  = ADB ACB

c) Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 0 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn

một cung

d) Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

B. Bài tập

Dạng 1: Chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng bằng nhau

Cách giải: Dùng hệ quả trong phần lý thuyết

Bài 1:

Cho ABC ∆ cân tại A (  0 90 A < ). Vẽ đường

tròn đường kính AB cắt BC tại D, cắt AC tại

E . Chứng minh rằng:

a. DBE ∆ cân

b.   1 2 = CBE BAC

Lời giải

D

O

A

B

P

M C

N

1

D

E

C B

A

2

a)  0 90 ADB AD BC AD = ⇒ ⊥ ⇒ là phân giác của  A

    1 2 A A BD DE BD DE BED ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒∆ cân tại D

b) Ta có      1 2 1 1 1 2 2 = = ⇒ = B A DE B BAC .

Bài 2:

Cho nửa đường tròn ( ) O đường kính AB và

dây AC căng cung AC có số đo bằng 600

a. So sánh các góc của ABC ∆

b. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa

của các cung AC và BC , hai dây AN và BM

cắt nhau tại I . Chứng minh rằng CI là tia

phân giác của  ACB

Lời giải

a) Ta có:      0 0 60 120 = ⇒ = ⇒ < < AC BC B A C

b) AN là phân giác của góc A, BM là phân giác của góc B nên CI là phân giác của góc C

(đpcm)

Bài 1:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường

cao AH và nội tiếp đường tròn tâm O, đường

kính AM

a) Tính  ACM

b) Chứng minh   = BAH OCA

c) Gọi N là giao điểm của AH với ( ) O . Tứ

giác BCMN là hình gì? Vì sao?

O

H

N M

C B

A

O

I

N

M

C

B A

3

Lời giải

a) Ta có  0 90 = ACM (góc nội tiếp)

b) Ta có ( ) ABH AMC gg ∆ ∆ ∽

     ; ⇒ = = ⇒ = BAH OAC OCA OAC BAH OCA

c)  0 90 = ⇒ ANM MNBC là hình thang

/ / ⇒ ⇒ BC MN sđ  BN = sđ  CM

  ⇒ = ⇒ CBN BCM BCMN hình thang cân.

Bài 4:

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB.

Lấy M là điểm tùy ý trên nửa đường tròn

(M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với

AB ( ∈ H AB ). Trên cùng một nửa mặt

phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn (O)

vẽ hai nửa đường tròn tâm 1 O , đường

kính AH và tâm 2, O đường kính BH.

Đoạn MA và MB cắt hai nửa đường tròn

( 1 O ) và ( 2 O ) lần lượt tại P và Q. Chứng

minh rằng:

a) = MH PQ

b) ∆ ∆  MPQ MBA

c) PQ là tiếp tuyến chung của hai đường

tròn ( 1 O ) và ( 2 O ).

Lời giải

a) Ta có: ◊MPHQ là hình chữ nhật ⇒ = MH PQ

b) Xét các tam giác vuông AHM và BHM ta có: ( ) . . = ⇒∆ ∆  MP MA MQ MB MPQ MBA cgc

c)     2 = ⇒ = ⇒ PMH MBH PQH O QB PQ là tiếp tuyến của 2 O

Q

P

O2 O1 H

M

B A

5

Bài 1:

Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB

vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm

chính giữa của các cung nhỏ MA và MB.

a) Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng

b) Gọi P là giao điểm của AK và BI. Chứng

minh P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

MAB.

Lời giải

a) Ta có: ( ) , , ∈ M A B O và  0 90 = ⇒ AMB AB là đường kính của đường tròn (O) , , ⇒A O B thẳng

hàng.

b) Ta có: AK, BI là phân giác của góc  ; ⇒ MAB MBA

P là tâm đường tròn nội tiếp ∆AMB

Bài 2:

Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm D

thuộc đường tròn. Gọi E là điểm đối xứng với

A qua D

a) Tam giác ABE là tam giác gì?

b) Gọi K là giao điểm của EB với (O). Chứng

minh . ⊥ OD AK

Lời giải

a) Xét ∆ABE có BD đồng thời là đường cao, đường trung tuyến nên ∆ABE cân tại B.

b) Xét ∆ABE có OD là đường trung tuyến / / ⇒OD BE

K M

I

P

O

B A

D K

E

O

B A