Tài liệu lớp 9 môn Toán chủ đề góc có đỉnh bên trong đường tròn, bên ngoài đường tròn

1

GÓC CÓ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN, BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

A. Lý thuyết

1. Góc có đỉnh bên trong đường tròn

Góc  BIC nằm bên trong đường tròn ( ) O được gọi là góc có đỉnh ở bên

trong đường tròn.

*) Định lí 1: Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng

số đo hai cung bị chắn, cụ thể ta có:    ( ) 1 2 + = sđ AmD sđ BnC BIC

2. Góc có đỉnh bên ngoài đường tròn

Các góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn, các cạnh đều có điểm chung với đường được gọi

là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

*) Định lí 2: Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị

chắn, cụ thể ta có:    ( ) 1 2 − = sđ BmD sđ AnC BID

B. Lý thuyết

Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau

Cách giải: Sử dụng hai định lí về số đo của góc có đỉnh bên trong đường tròn, góc có đỉnh

bên ngoài đường tròn.

Bài 1:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( ) O .

Các tia phân giác của góc B và C cắt nhau

tại I và cắt đường tròn lần lượt tại D và E .

Dây CE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại

M và N . CMR:

a. AMN ∆ cân

b. , EAI DAI ∆ ∆ cân

c. AMNI ◊ là hình thoi.

Lời giải

m

n

O

I

A D

C

B

2

1

2

1

N

M

I

E

B

F

C

D

A

2

a) Chứng minh được AI là phân giác của A

Xét AMN ∆ , có:    ( ) 1 1 2 + = sđ AD sđ EN M

   ( )   1 1 1 1 2 + = = ⇒ N sđ E đ C M A s N D

⇒∆AMN cân tại A

+)     ( ) 1 2 = = + ⇒∆ sđ I C D D F AI C DI đ AD s cân tại D

⇒ = DI DA .

Tương tự ta có EAI ∆ cân tại E ⇒ = EA EI

b) Ta có: , = = ⇒ AE EI DA DI DE là đường trung

trực của đoạn ⇒ = ⇒∆ AI NA NI ANI cân

mà     1 2 1 2 / / = ⇒ = ⇒ N N M N NI AM .

tương tự:   1 2 / / = ⇒ ⇒ N M MI AN là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau (đpcm)

Bài 2:

Cho đường tròn ( ) O và một dây AB . Vẽ

đường kính CD vuông góc với AB ( D thuộc

cung nhỏ AB ). Trên cng nhỏ BC lấy một

điểm N . Các đường thẳng CN và DN lần

lượt cắt đường thẳng AB tại E và F . Tiếp

tuyến của đường tròn tại N cắt đường thẳng

AB tại I . CMR:

a. , INE INF ∆ ∆ là các tam giác cân

b. 2 AE FA AI + =

Lời giải

a. Ta có:    ; ⊥ ⇒ = = CD AB AD DB CA CB

2

1

B F

N

A I E

D

C

3

Xét INE ∆ có:    1 2 1 (1) 2 = = sđCN N N

     ( )  : 2 : 2(2) 2 − = = − = E sđCA sđ BN sđCB sđ BN sđCN

Từ   1 (1)(2) ⇒ = ⇒∆ N E INE cân tại I . Tương tự ta có INF ∆ cân tại I .

b. Ta có: IE IN IF = =

2 2

= −  + ⇒ = + ⇒ =  = + 

AI AE IE AE AF AI AE AF AI AI AF FI

Bài 3:

Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), có:

  0 0 46 , 72 = = B C

a. Tính A của ∆ABC

b. Tia phân giác của A cắt đường tròn ở M ,

tia phân giác của B cắt đường tròn ở N . Gọi

I là giao điểm của AM và BN . Tính các góc

 ; BIM BMI

c. Chứng minh: MB MC MI = =

Lời giải

a. Xét ∆ABC , có     0 0 180 62 + + = ⇒ = A B C A

b.     0 0 0 0 46 92 ; 62 124 = ⇒ = = ⇒ = B AC A BC sđ sđ

+)   

0 0 0 1 1 124 92 ( ) ( ) 54 2 2 2 + = + = = MIB M AN sđ B

c. MBI ∆ cân tại M do



 

0 54  = = ⇒ = ⇒  = ⇒ = 

 B I MB MI dpcm MB MC MB MC

I O

N

M

C B

A

4

Bài 4:

Cho AB là dây cung của đường tròn ( ) O . Lấy

I nằm giữa A và B sao cho IA IB > . Gọi D

là điểm chính giữa cung AB nhỏ. Vẽ dây CD

qua I , tiếp tuyến tại C của đường tròn ( ) O

cắt AD ở K

a. Chứng minh rằng: IK CK =

b. Gọi E là điểm đối xứng của I qua K , EC

giao với ( ) O tại M , Chứng minh rằng ba

điểm , , M O D thẳng hàng

c. . . CACB CI CD =

Lời giải

a)      1 1 ( ) ( ) 2 2 = + = + CIB sdCB sd AD sd BC BD

 1 2 = sdCD

Mà   1 2 = ⇒∆ KIC sdCD CIK cân tại K .

b) = ⇒ = = ⇒∆  = 

KE KI KE KI KC ICE KC KI vuông tại K ⇒∆ICE nội tiếp đường tròn (K) đường kính

IK   0 0 90 90 ⇒ = ⇔ = ⇒ ICM DCM MD là đường kính cả (O) nên M, O, D thẳng hàng.

c) Xét , CAI CDB ∆ ∆ , có:

  

  ( . )

( . . . . )

 =  = 

CAI CDB chan BC

ACI DCB chan hai cung bang nhau

( ) . . ⇒∆ ∆ ⇒ = ⇔ =  CA CI CAI CDB gg CACB CI CD CD CB (đpcm).

O

A

D

I B K E

C

M