Phương pháp giải các bài toán diện tích tam giác

1

Phương pháp giải các bài toán diện tích tam giác

I. - Các dạng bài toán liên quan diện tích tam giác 1/ Dạng thứ nhất, Giải trực tiêp không cần kẻ thêm đường phụ Đây là những bài toán thuộc kiến thức cơ bản trong Chương trình của HS tiểu

học về diện tích hình tam giác S∆ = 1/2 x Chiều cao x đáy Do đó khi chiêù cao không đổi, nếu đáy tăng/giảm bao nhiêu lần thì diện tích tăng/ giảm bấy nhiêu lần; Ngược lại: Đáy không đổi mà chiều cao tăng/ giảm thì diện tich tam giác tăng/giảm tỷ lệ thuận. Thí dụ 2 bài dưới đây

Bài 2 Cho tam giác ABC. Trên AB lấy E sao cho AE = 2EB. Trên AC lấy D sao cho

AD = 1/2DC. DB và CE cắt nhau tại G. a) so sánh diện tích hai tam giác BCD và ACE. b) so sánh diện tích tam giác BGC va diện tích tứ giác AEGD Giải:

a/ Vì D và E đều chia 2 cạnh tương ứng của ∆ABC theo tỉ lệ 1/3 nên: S ∆BCD = 2/3S∆ABC S ∆ACE = 2/3S∆ABC  Do đó S∆BCD = S∆ACE

b/ Vì ∆BCD và ∆AEC có phần chồng lên nhau là ∆DCG nên phần còn lại của 2 tam giác DT bằng nhau là  Stứ giácAEGD = S∆BGC

Bài 1a: So sánh SABC với SAMC Biết MC = MB? ĐA: SABC = 2SAMC

Bài 1b: So sánh SA’B’C’ với SA’NC’ Biết 2 đường cao AH = 2NI ĐA: SA’B’C’ = 2SA’N’C’

ThuVienDeThi.com

2

Bài 3 Cho hình tam giác ABC. Trên BC lấy điểm D sao cho BD = 1/3 BC. Nối A với D, trên AD lấy điểm K sao cho AK = 1/3 AD. Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BDK là 12,3cm2. Giải Xét tam giác KBD và ABD có chung đỉnh B mà AK = 1/3 AD => KD = 2/3 AB => S∆KBD = 2/3 S∆ABD => S∆ABD = 12,3 : 2 x 3 = 18,45 (cm2) Vì ∆ABD và ∆ABC có chung đỉnh A, đáy BD = 1/3 đáy BC => S∆ABD = 1/3 S∆ABC  Vậy S∆ABC = 18,45 x 3 = 55,35 (cm2) ĐS

Bài 4: Cho tam giác ABC có góc A là góc vuông,AB = 30cm,AC=45cm.M là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM=20cm.từ M kẻ đường thẳng song song với BC, cắt AC tại điểm N. Tính diện tích tam giác AMN HD Giải S(ABC) = 30 x 45 : 2 = 675 (cm2) S(ABN) = 2/3 x S(ABC) = 2/3 x 675 = 450 (cm2) S(AMN) = 2/3 x S(ABN) = 2/3 x 450 = 300 (cm2)  ĐS 300 cm2

Lưu ý: Thực ra với 1 số bài như bài 3, bài 4 khi cần nhìn rõ thì phải kẻ đường cao; khi đã quen mà bài không phức tạp lắm thì không cần kẻ đường cao cũng nhìn ra. (Những bài cần kẻ đường cao, xem phần dưới)

2/- Dạng 2: Nối 1 đoạn thẳng để làm rõ tương quan giữa các tam giác

Bài 5: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 18 cm2, Lấy DA = 2.DB; EC = 3,EA; MB = MC (như hình vẽ).  Tính tổng diện tích hai tam giác MDB và MCE.

Giải: Kẻ nối AM ta có: S.MDB = 1/3 S.ABM = 1/3 x 1/2S.ABC = 3 cm2

ThuVienDeThi.com

3

S.MCE = 3/4S.ACM = ¾ x 1/2S.ABC = 6,75 cm2 Do đó: S.MDB + S.MCE = 3 + 6,75 = 9,75 cm2  Đ/S: 9,75 cm2

Bài 6: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB ta lấy điểm E sao cho AB=2AE; trên cạnh AC ta lấy điểm D sao cho CD = 2 AD. Nối E với D ta được hình tam giác AED có diện tích 5 cm2. Hãy tính diện tích hình tứ giác BCDE.

Giải: Nối C với E Theo đề DC = 2.AD

Nên SDCE = 2.SAED = 5 x 2 = 10 (cm2) (đáy DC=2AD và chung đường cao kẻ từ A).

SACE = SDCE +SAED = 10 + 5 = 15 (cm2) Theo đề lại có EB = 2EA  Nên SECB = SACE x 2 = 15 x 2 = 30 (cm2)  Vậy SBCDE = SDEC+ SECB = 10 + 30 = 40 (cm2)

Bài 7 Cho tam giác ABC, Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 3/4 AB; trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2/3 AC. Nối B E v à CD cho CD và BE cắt nhau tại G. Tính diện tích tam giác GBC theo ∆ABC

Giải *Cách thứ nhất, Nối DE; Theo cách dựng ta có SADC = 3/4SABC và SEDC = 1/3SADC SEDC = 1/3 x 3/4=1/4SABC mà SBDC = 1/4SABC  SEDC = SBDC

Hai tam giác EDC và BDC có DC chung nên 2 đường cao ứng với đáy DC bằng nhau.

SBDG = SEDG = 1/2SBDE [1 ] Vì ED = 1/4AD nên SBDE = 1/4SABE Vì CE = 1/3 AC nên SABE = 2/3SABC Do đó: SBDE = 2/3 x ¼ = 1/6SABC [2 ]

T ừ [1 ] v à [2 ]  SBDG = 1/6 x ½ = 1/12 SABC SGBC = SBDC – SBDG = ¼ – 1/12 = 1/6 SABC

ThuVienDeThi.com