Toán 9 - Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-Ét trong giải toán

1

CHUYÊN ĐỀ : ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT TRONG GIẢI TOÁN

Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a0) (*)

Có hai nghiệm ; 1 2 b x a    2 2 b x a   

Suy ra: 1 2

2 2 2 b b b b x x a a a          

2

1 2 2 2 2 ( )( ) 4 4 4 4 b b b ac c x x a a a a        

Vậy đặt : - Tổng nghiệm là S : S = 1 2

b x x a   

- Tích nghiệm là P : P = 1 2

c x x a 

Như vậy ta thấy giữa hai nghiệm của phương trình (*) có liên quan chặt chẽ với các hệ số a, b, c. Đây chính là nội dung của Định lí VI-ÉT, sau đây ta tìm hiểu một số ứng dụng của định lí này trong giải toán.

I. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH : 1. Dạng đặc biệt: Xét phương trình (*) ta thấy :

a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0

Như vây phương trình có một nghiệm và nghiệm còn lại là 1 1 x  2

c x a 

b) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.( 1)2 + b( 1) + c = 0  a b + c = 0    

Như vậy phương trình có một nghiệm là và nghiệm còn lại là 1 1 x  2

c x a  

Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

1) (1) 2) (2) 2 2 5 3 0 x x    2 3 8 11 0 x x    Ta thấy :

Phương trình (1) có dạng a b + c = 0 nên có nghiệm và  1 1 x  2

3 2 x  

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm và 1 1 x  2

11 3 x  

Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:

1. 2. 2 35 37 2 0 x x    2 7 500 507 0 x x    3. 4. 2 49 50 0 x x    2 4321 21 4300 0 x x    2. Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình : Vídụ: a) Phương trình 2 2 5 0 x px    . Có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm thứ hai.

b) Phương trình 2 5 0 x x q    có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : 2 7 0 x x q    , biết hiệu 2 nghiệm bằng 11. Tìm q và hai nghiệm của

phương trình.

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : 2 50 0 x qx    , biết phương trình có 2 nghiệm và có

một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia.

ThuVienDeThi.com

2

Bài giải:

a) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc : 1 2 x 

1 4 4 5 0 4 p p     

T ừ suy ra 1 2 5 x x  2

1

5 5 2 x x  

b) Thay v à phương trình ban đ ầu ta đ ư ợc 1 5 x  25 25 0 50 q q     

T ừ suy ra 1 2 50 x x  2

1

50 50 10 5 x x     

c) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có , ta 1 2 11 x x   1 2 7 x x  

giải hệ sau:

1 2 1

1 2 2

11 9

7 2

x x x

x x x

             Suy ra 1 2 18 q x x   d) Vì vai trò của x1 và x2 bình đẳng nên theo đề bài giả sử và theo VI-ÉT ta có . Suy ra 1 2 2 x x  1 2 50 x x 

2 2 2 2 2 2

2

5 2 50 5 5

x x x x

        Với th ì 2 5 x  1 10 x  Với th ì 2 5 x  1 10 x 

II. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm 1 2 ; x x Ví dụ : Cho ; lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên 1 3 x  2 2 x 

Theo hệ thức VI-ÉT ta có vậy là nghiệm của phương trình có dạng: 1 2

1 2

5

6

S x x

P x x

       

1 2 ; x x

2 2 0 5 6 0 x Sx P x x        Bài tập áp dụng:

1. x1 = 8 và x2 = -3 2. x1 = 3a và x2 = a 3. x1 = 36 và x2 = -104

4. x1 = và x2 = 1 2  1 2 

2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : 2 3 2 0 x x    có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x . Không giải phương trình trên, hãy

lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn : 1 2

1

1 y x x   và 2 1

2

1 y x x  

Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó:

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 3 9 ( ) ( ) 3 2 2 x x S y y x x x x x x x x x x x x                       

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 9 ( )( ) 1 1 2 1 1 2 2 P y y x x x x x x x x         

ThuVienDeThi.com