Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2015 - 2016 môn thi Toán (chuyên) -Trường phổ thông Năng Khiếu

TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) Trang 1/ 8

ĐAI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2015-2016 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN THI: TOÁN (Chuyên)

Thời gian: 150 phút

Bài 1: (2,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 2 2x 1 1 2x 2 x x     .

b) Cho các số a và b thỏa mãn điều kiện 3 3 3 1 a b b 4    . Chứng minh rằng: 1 a 0   .

Bài 2: (2,0 điểm). a) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho a b c 0   và ab bc ca 3 0     . b) Cho m là số nguyên. Chứng minh rằng nếu tồn tại các số nguyên a, b, c khác 0 sao cho

a b c 0   và ab bc ca 4m 0     thì cũng tồn tại các số nguyên / / / a ,b ,c khác 0 sao cho

/ / / a b c 0    và / / / / / / a b b c c a m 0     . c) Với k là số nguyên dương, chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c khác 0 sao cho

a b c 0   và k ab bc ca 2 0     . Bài 3: (1,0 điểm). Giả sử phương trình 2 2x 2ax 1 b 0    có 2 nghiệm nguyên (a, b là tham số). Chứng minh rằng 2 2 a b 2 0    là số nguyên và không chia hết cho 3. Bài 4: (3,0 điểm). Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc nhọn, nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm của cạnh BC, E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC, F là điểm đối xứng của E qua M.

a) Chứng minh rằng 2 EB EF.EO  . b) Gọi D là giao điểm của AE và BC. Chứng minh các điểm A, D, O, F cùng thuộc một đường tròn. c) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và P là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC sao cho P, O, F không thẳng hàng. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại P của đường tròn ngoại tiếp tam giác POF đi qua một điểm cố định. Bài 5: (2,0 điểm). Để khuyến khích phong trào học tập, một trường THCS đã tổ chức 8 đợt thi cho các học sinh. Ở mỗi đợt thi, có đúng 3 học sinh được chọn để trao giải. Sau khi tổ chức xong 8 đợt thi, người ta nhận thấy rằng với hai đợt thi bất kỳ luôn có đúng 1 học sinh được trao giải ở cả hai đợt thi đó. Chứng minh rằng:

a) Có ít nhất một học sinh được trao giải ít nhất bốn lần. b) Có đúng một học sinh được trao giải ở tất cả 8 đợt thi.

 HẾT

ThuVienDeThi.com

TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) Trang 2/ 8

ĐAI HỌC QUỐC GIA TP.HCM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2015-2016 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU MÔN THI: TOÁN (Chuyên)

Thôøi gian: 150 phuùt GV THĂNG LONG HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: (2,0 điểm).

a) Giải phương trình 2 2 2x 1 1 2x 2 x x     (1)

Cách 1:

Điều kiện:

 

2 2

2

1 x 2 2x 1 0 1 1 2 1 2x 0 x x 2 2 2 x x 0 x 1 x 0

                            2 2 2 1 2x 1 1 2x 2 2x 1. 1 2x 4 x x       

 

2 2 2 2x 1 1 2x 0 2x 1 1 2x 2x 1 1 2x         

 

 

2 1 5 x nhận 2 x x 1 0 1 5 x loại 2

           

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 1 5 S 2

           Cách 2:

Ta chứng minh được:   2 2 a b 2 a b    , dấu ‘’=’’ xảy ra khi a = b.

Áp dụng bất đẳng trên, ta có:

  2 2 2x 1 1 2x 2 2x 1 1 2x    

2 2 2x 1 1 2x 2 x x     

Dấu ‘’=’’ xảy ra khi 2 1 5 2x 1 1 2x x 2    

So với điều kiện 1 2 x 2 2   , ta nhận 1 5 x 2   . Vậy 1 5 S 2

          

b) Cho các số a và b thỏa mãn điều kiện 3 3 3 1 a b b 4    . Chứng minh rằng: 1 a 0   .

Cách 1:

ThuVienDeThi.com