Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi trên máy tính cầm tay Toán lớp 8, 9

Tài liệu bồi dưỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9

--

1

Chuyên đề 1: BÀI TOÁN ĐA THỨC

TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA ĐA THỨC f(x) CHO NHỊ THỨC g(x) =ax + b

Phương pháp:

- Chia thông thường - Áp dụng định lí Bezoul - Áp dụng Sơ đồ Hoocne 1) Định nghĩa phép chia hết- Chia có dư của 2 đa thức f(x) và g(x); f(x) : g(x) thì tồn tại q(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x). Nếu r(x) = 0 thì f(x) chia hết cho g(x).

2) Định lí Bezoul: a. Giả sử đa thức f(x) là đa thức của biến x và a R trong biểu thức của f(x). Khi thay x = a thì được một số ký hiệu là f(a). gọi là giá trị của f(x) tại a. Nếu f(a) = 0 thì f(x) có nghiệm là x = a. b. Định lí Bezoul: - Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = x – a là hằng số bằng f(a).

VD1: Chia f(x) = x3 + 4x2 - 5 cho g(x) = x – 1.

Ta có số dư là f(1) = 13 + 4.12 – 5 = 0 VD2: Chia f(x) = x5 +2x3 – x + 4 cho g(x) = x + 1.

Ta có số dư là f(-1) = (-1)5 +2.(-1)3 – (-1) + 4 = 2

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức g(x) = ax + b là hằng số bằng f .

VD3: Chia f(x) = 3x3 + 2x2 + 5x – 7 cho g(x) = 2x + 1.

Ta có số dư là: f

VD4: Chia f(x) = 3x4 + 5x3 – 4x2 + 2x – 7 cho g(x) = 4x -5.

Ta có số dư là f

3) Sơ đồ Hoocne: Trong trường hợp chia một đa thức Pn(x) cho một nhị thức x – m ta có thể sử dụng thuật toán Hoocne như sau:

Giả sử khi chia đa thức Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 cho nhị thức x – m ta được đa thức Qn(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 + … + b1x + b0 thì giữa các hệ số an , an-1 , an-2 , …, a1 , a0 và bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau đây:

bn-1 = an bn-2 = m. bn-1 + an-1 .. . . . .. .. . .. .. . . b0 = m.b1 + a1 và số dư r = m.b0 + a0 an an-1 an-2 … a1 a0 m bn-1 = an bn-2= m.bn-1+an-1 bn-3= m.bn-2+an-2 b0=m.b1+a1 r =m.b0+a0

Ví dụ 1: Tìm thương và số dư của đa thức

f( chia cho

Giải: Ta ghi:

2 0 -3 4 -5 -2 2 -4 5 -6 7 Vậy đa thức thương Q và số dư r = 7



b a       

3 2 1 1 1 1 75 3. 2. 5. 7 2 2 2 2 8                                  

4 3 2 5 5 5 5 5 87 3. 5. 4. 2. 7 6 4 4 4 4 4 256                                    

4 2 ) 2 3 4 5 x x x x     ( ) 2 g x x  

3 2 ( ) 2 4 5 6 x x x x    

ThuVienDeThi.com

Tài liệu bồi dưỡng HS giỏi môn giải toán trên MTCT lớp 8,9

--

2

Ví dụ 2: Tìm thương và số dư của đa thức

chia cho Giải: Ta ghi:

3 5 -4 2 -7 3 6

Vậy đa thức Q và số dư r = 6 .

BÀI TẬP:

1)Tìm số dư của các phép chia sau:

a) (x4 + x3 +2x2 – x +1) : (x -3) KQ: r = 124 b) (x3 – 9x2 – 35x + 7) : (x – 12) KQ: r = 19 c) (2x3 + x2 – 3x +5) : (x + 11) KQ: r = -2.503 d) (4x5 + 3x3 – 4x + 5) : (2x +11) KQ: r = -20.603,5

e) (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) : ( -3x +2) KQ: r =

f) (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) : (3x – 1) KQ: r =

Hướng dẫn: Áp dụng định lí Bezoul

2) Tìm số dư và đa thức thương của các phép chia f(x) cho g(x) sau:

a) f(x) = (x4 + x3 +2x2 – x +1) và g(x) =(x -3) b) f(x) = (x3 – 9x2 – 35x + 7) và g(x) = (x – 12) c) f(x) = (2x3 + x2 – 3x +5) và g(x) = (x + 11) d) f(x) = (4x5 + 3x3 – 4x + 5) và g(x) = (2x +11) e) f(x) = (3x4 + 5x3 -4x2 +2x – 7) và g(x) = ( -3x +2) f) f(x) = (5x4 – 4x3 + 2x2 + 7x + 8) và g(x) = (3x – 1) . Hướng dẫn: Áp dụng Sơ đồ Hoocne. KQ: a) r = 124

và Q(x) = x3 + 4x2 + 14x + 41

b) r = 19 và Q(x) =x2 + 3x + 1 c) r = -2.503 và Q(x) = 2x2 – 21x + 228

d) r = -20.603,5 và Q(x) = 2x4 – 11x3 + 62x2 – 341x +

e) r = và Q(x) = -x3 - x2 - x -

f) r = và Q(x) = x3 - x2 + x +

3) Tìm a để P(x) = x4 + 7x3 +2x2 +13x + a chia hết cho x + 6. Giải: C1: Để P(x) x + 6 P(-6) = 0 (-222) + a = 0 a = 222. Vậy a = 222.

4 3 2 ( ) 3 5 4 2 7 f x x x x x      ( ) 4 5 g x x  

5 4

35

4

111

16

683

64

87 256 3 4

35 16

111

64

683 256

3 2 3 35 111 683 ( ) 4 16 64 256 x x x x     87 256

145 27 

848

81

3.747

2 145 27  7 3

2 9

22 27 848

81

5 3

7 9

11 27

200

81

M   

ThuVienDeThi.com