Toán 10 - Chuyên đề Hình học

HÌNH HỌC I. Bất đẳng thức và cực trị

Trong chương trình trung học cơ sở thì những bất đẳng thức chúng ta gặp chỉ xoay quanh các yếu tố của tam giác như ba cạnh , , a b c , chu vi p , bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp ,r R … và các yếu tố độ dài trong một đường tròn. Để nắm bắt rõ điều này, tôi sẽ bổ sung một số hệ thức lượng trong tam giác mà một số hệ thức mà các bạn có thể chưa gặp trong chương trình học cấp 2, tuy nhiên đây là các hệ thức rất cơ bản trên cấp 3

i) Hệ thức về diện tích tam giác

( ) ( )( )( ) 1 1 sin 2 2 4 a a abc S ah pr bc A p a r p p a p b p c R = = = = = − = − − −

ii) Hệ thức về hàm số sin, cos, trung tuyến, phân giác trong, phân giác ngoài, đường cao

( )

( )

2 2 2

2 2 2 2

2 cos 2 sin

2 2 1 4

2 cos 2 2

1 1 1 1

a

a

a b c

b c bc A a a R A

b c a m

A bc l b c

h h h r

+ − = =

+ − =

= +

+ + =

Trong các hệ thức trên, hầu hết là quen thuộc với các bạn nên tôi sẽ chỉ chứng minh hệ thức (1) và (2). Chứng minh như sau Áp dụng định lý hàm số cos cho tam giác ABC và tam giác ABM với góc B ta có

2 2 2

2 2 2

2 cos

2 2 cos 2 2

a

a c ac B b

a c ac B m

 + − =  + − = 

Trừ hai vế đẳng thức với nhau ta có

2 2 2 2 2 2

4 a

b c a m + − =

Đối với hệ thức (2) áp dụng công thức diện tích cho hai tam giác , ABD ACD ta được

1 sin 2 2 1 sin 2 2

ABD a

ACD a

A S cl

A S bl

 =   = 

Mặt khác ( )

2 cos 1 1 2 sin sin 2 2 2 ABD ACD a a

A bc A S bc A S S l b c l b c = = + = + ⇒ = +

a m

ah

al

a

b c

A

C B M D

ThuVienDeThi.com

iii) Một số hệ thức đặc biệt khác Với O là điểm bất kì trên mặt phẳng thì ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 9 OA OB OC OG a b c + + = + + +

với G là trọng tâm tam giác Chứng minh Áp dụng hệ thức trung tuyến cho các tam giác , , , OAD OGD OBC GBC ta được

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 4

4 2 2

2 2 4

4 2 2

OA OD OG AD

OM GD OG OD

OB OC OM BC

GM BC GB GC

+ = +

+ = +

+ = +

+ = +

Cộng bốn đẳng thức trên lại vế theo vế ta có

2 2 2 2 2 2 2 3 OA OB OC OG GA GB GC + + = + + + (*) Mà từ công thức đường trung tuyến ta dễ dàng suy ra

2 2 2 2 2 2

3 a b c GA GB GC + + + + =

Thế vào (*) ta có ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 9 OA OB OC OG a b c + + = + + +

Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp ta có hệ thức sau

2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 9 9 R OG a b c R a b c = + + + ⇒ ≥ + + (**) Trước hết, chúng ta có một bài toán cơ bản là điều kiện tương đương để ba số dương là ba cạnh một tam giác. Điều kiện như sau:

, , 0 a b c > là ba cạnh tam giác , , 0:

a y z

x y z b x z c x y

= +   ⇔∃ > = +  = + 

Chứng minh Điều kiện cần: Vẽ đường tròn nội tiếp tam giác ABC , khi đó, , , x y z là các đoạn được biểu diễn trên hình Điều kiện đủ:

Với

a y z

b x z c x y

= +  = +  = + 

ta dễ dàng chứng minh , ,

a b c

b c a a b c c a b

+ >  + > ⇒  + > 

là ba

cạnh tam giác

Rõ ràng điều kiện trên là rất đơn giản nhưng lại rất hữu dụng, các bạn sẽ có thể nhìn một bất đẳng thức hình học dưới cái nhìn đại số và không bị ràng buộc bởi cái yếu tố cạnh của tam giác nữa. Ta hãy xét một vài ví dụ • Các bất đẳng thức chỉ chứa yếu tố các cạnh tam giác Cho , , a b c là ba cạnh tam giác. Chứng minh

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 2

2 2 2 2 [1] 2

[2] 2

[3] 3

1 1 1 1 1 1 [4] 2

a b c ab bc ca

a b c a b c

ab a b bc b c ca c a abc

p a p b p c a b c

+ + < + +

+ + < + +

+ + + + + >

  + + ≥ + +   − − −  

A

B C

D

O

M

G

x x

y

y z

z

ThuVienDeThi.com