Chuyên đề Giới hạn - Hàm số liên tục

A – GIỚI HẠN DÃY SỐ I/ GIỚI HẠN HỮU HẠN 1. Các định nghĩa.

Sau đây là một số khái niệm cơ bản. Định nghĩa giới hạn: Xét dãy số với n (U ) n

1 U n 

n càng lớn thì càng nhỏ dần tới 0 n U ta nói: khi thì n  n U 0  Kí hiệu: hay . n nlim U 0   n lim U 0 

VD 01:

a) b) c) . 1 lim 0 n  1 lim 0 n

 3

1 lim 0 n



Định nghĩa giới hạn hữu hạn: n lim(U L) 0    n lim U L  A Được gọi là giới hạn hữu hạn của dãy số . n (U ) VD 02:

a) b) c) . 1 lim 1 1 n        

1 lim 2 2 n        

1 lim 0 n 1   2. Các định lý giới hạn. Định lý 1:

i) . n

n n

lim v 0 | u | v

    

 n limu 0 

ii) . n 0 khi | q | 1 limq khi q 1      VD 03. Tính các giới hạn:

a) b) c)

n ( 1) lim n 5 



n 1 lim 0 2      

n 2 lim 0 3       

d) e) f) . cosn lim n

n lim2

n ( 1) lim 1 n

        Định lý 2: i) Nếu thì: n limu L  + n lim | u | | L | 

+ 3 3

n lim u L 

+ với n lim u L  n u 0 n,L 0  

ii) Nếu thì: n n limu L,lim v M,c const    + n n lim(u v ) L M    + n lim(c.u ) c.L  + n n lim(u .v ) L.M 

+ n

n

u L lim ,M 0 v M  

VD 04. Tính các giới hạn sau:

a) b) c) n 1 lim n

 n ( 1) lim 2 n 2         

2 1 lim n

ThuVienDeThi.com

d) e) f) 3 1 lim n

n 2 lim n 1 



2

2 3n 4n 7 lim n  

g) h) i)

3 2

3 2n 4n 3n 3 lim n 5n 7     

2

2 n 3n 5 lim 2n 1   

1 lim n(n 1) 

j) k) l) .

2

3 n n 3 lim n 2n   

2

4 2n n 2 lim 3n 5    

2

2 2n n lim 1 3n

  II/ GIỚI HẠN VÔ CỰC 1. Một số giới hạn vô cực cơ bản. i) 3 limn , lim n , lim n    ii) n n limu lim( u )   

iii) hay . n

n

1 lim | u | lim 0 u   n

n

1 limu lim 0 u  

2. Các quy tắc tính giới hạn vô cực. Quy tắc 1: n limu n lim v n n lim(u .v )

        VD 05. Tính các giới hạn sau:

a) b) c) . 2 limn 3 limn k limn ,k  A

n limu , dấu của L n lim v L  n n lim(u .v )

 +  +  –

Quy tắc 2:

 – VD 06. Tính các giới hạn sau:

a) b) c) lim(2n 3)  2 lim(3n 100n 50)   lim( 2n 3)  

d) e) f) 2

5 lim 3n 100n 50   

3 2n n lim 3n 2   

4 3 lim 3n 5n 7n  

HD: Tử tách bậc cao nhất của tử, mẫu tách bậc cao nhất của mẫu.

n limu L 0   , dấu của n lim v 0  n v n n lim(u .v ) + + – + + –

Quy tắc 3:

– – VD 07. Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

3 2n n lim 3n 2   

3 2n 3n 2 lim 3n 2    

5 4

3 2 n n 3n 2 lim n 6n 9      HD: Chia cả tử và mẫu cho bậc cao nhất. VD 08. Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

2

2 3n 2n 1 lim 2n n   

3 lim( 2n 3n 5)   

3 6 3 n 7n 5n 8 lim n 12    

LUYỆN TẬP (Các dạng bài tập) 1. Giới hạn dãy số dạng hữu tỉ. a) Bậc tử < bậc mẫu (giới hạn = 0): Tách bậc cao nhất. VD 09. Tính các giới hạn sau:

ThuVienDeThi.com

a) b) c)

2

3 2 n 4n 5 lim 3n n 7    

3 2

5 4 4n 6n 9 lim n n 3n 2      b) Bậc tử = bậc mẫu (giới hạn = a/b): Tách bậc cao nhất. VD 10. Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

2

2 n 3 lim 2n n 3   

4

2 2n 3n 2 lim 2n n 3     c) Bậc tử > bậc mẫu (giới hạn = ):  VD 11. Tính các giới hạn sau:

a) b) c)

4

3 2 n 3n 2 lim 4n 6n 9    

3 2

2 3n n 7 lim n 4n 5    

3 lim(3n 7n 11)  

d) e) f) 4 2 lim 2n n n 2    2. Giới hạn dãy số chứa căn thức.  Dạng liên hợp:

2 2 (a b)(a b) a b    

2 2 3 3 (a b)(a ab b ) a b     

2 2 3 3 (a b)(a ab b ) a b       Dạng vô định:

Tách bậc cao nhất.  

– Nhân lượng liên hợp rồi tách bậc cao nhất.  VD 12. Tính các giới hạn sau:

a) b) c) 4 3 lim 3n 5n 7n   3 3 lim 1 2n n   2 lim( n n 2 n 1)    

d) e) f)

2 n 1 n 1 lim 3n 2   

3 6 3 n 7n 5n 8 lim n 12    

1 lim

n 2 n 1   

g) h) i) 3 3 lim( 1 2n n n)    lim n( n 1 n)     

4 2 4n 3n 2n lim

n n 2     3. Giới hạn dãy số chứa hàm lượng giác.

Áp dụng định lí: . n

n n

lim v 0 | u | v

    

 n limu 0 

VD 13. Tính các giới hạn sau:

a) b) c) sin n lim 0 n  cos3n lim n

sin n lim n 5 

d) e) f) cos2n lim

n 1 

sin n lim

n 3 sin n lim

n

g) h) i) cosn lim n

cosn lim

n 3 cosn lim

n

j) k) l) 2 …