Chuyên đề Véc tơ trong không gian Quan hệ vuông góc trong không gian

Véc tơ trong không gian

Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 1

Chương III

VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

§1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN .

I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN

1. Định nghĩa

Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng .Ký hiệu , chỉ rõ véc tơ có 𝐴𝐵 điểm đầu là A và điểm cuối là B.Véc tơ còn được ký hiệu :𝑎 ,𝑏 ,𝑐 ,𝑥 ,𝑦… * Các khái niệm về giá của véc tơ,độ dài của véc tơ, sự cùng phương ,cùng hướng của hai véc tơ ,véc tơ -không ,sự bằng nhau của hai véc tơ ....được định nghĩa tương tự như trong mặt phẳng . 1. Phép cộng ,phép trừ véc tơ trong không gian . * Phép cộng và phép trừ hai hay nhiều véc tơ trong không gian ,được định nghĩa tương tự như phép cộng và phép trừ hai véc tơ trong mặt phẳng . Phép cộng véc tơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng véc tơ trong mặt phẳng .Khi cộng véc tơ trong không gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc 3 điểm ,quy tắc HBH,như đối với véc tơ trong mặt phẳng .

Ví dụ : Cho tứ diện ABCD

1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD .Chứng tỏ rằng

𝑀𝑁= 1

2(𝐴𝐷+ 𝐵𝐶) = 1

2(𝐴𝐶+ 𝐵𝐷)

2.Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi

𝑎) 𝐺𝐴+ 𝐺𝐵+ 𝐺𝐶= 0

𝑏) 𝑃𝐺= 1

4(𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶+ 𝑃𝐷)

Với mọi điểm P

Bài giải :

A

B

C

D

M

N H

K I

ThuVienDeThi.com

Véc tơ trong không gian

Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 2

1. Sử dụng quy tắêcba điểm :

𝑀𝑁= 𝑀𝐴+ 𝐴𝐷+ 𝐷𝑁 (1); 𝑀𝑁= 𝑀𝐵+ 𝐵𝐶+ 𝐶𝑁 (2) Lấy (1) cộng với (2) vế với vế ta có :

2𝑀𝑁= (𝑀𝐴+ 𝑀𝐵) + 𝐴𝐷+ 𝐵𝐶+ (𝐷𝑁+ 𝐶𝑁) = 𝐴𝐷+ 𝐵𝐶

Tương tự : 𝑀𝑁= 1

2(𝐴𝐶+ 𝐵𝐷)

2. Trong tam giác AGB có GM là trung tuyến ,cho nên ,theo tính chất của véc tơ trung tuyến ta có

𝐺𝐴+ 𝐺𝐵= 2𝐺𝑀 (1) Tương tự ,trong tam giác DMC với GN là trung tuyến ta có :

𝐺𝐷+ 𝐺𝐶= 2𝐺𝑁 (1) Từ đó ,lấy (1) cộng với (2) :

𝐺𝐴+ 𝐺𝐵+ 𝐺𝐶= 2(𝐺𝑀+ 𝐺𝑁) = 0 Mạt khác với một điểm P bất kỳ ,ta xét các tam giác PAB ;PCD và PMN .Thứ tự có các đường trung tuyến PM,PN và PG .Áp dụng quy tắc trung tuyến ta có 3 kết quả sau .

𝑃𝐴+ 𝑃𝐵= 2𝑃𝑀 (1)

𝑃𝐶+ 𝑃𝐷= 2𝑃𝑁 (2) 𝑃𝑀+ 𝑃𝑁= 2𝑃𝐺 (3) ⟹𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶+ 𝑃𝐷= 2(𝑃𝑀+ 𝑃𝑁) = 2.2𝑃𝐺= 4𝑃𝐺 Hay :

𝑃𝐺= 1

4(𝑃𝐴+ 𝑃𝐵+ 𝑃𝐶+ 𝑃𝐷)

* Quy tắc hình hộp : Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A là AB,AD,AA' và có đường chéo AC' .Khi đó ta có quy tắc hình hộp là : 𝐴𝐵+ 𝐴𝐷+ 𝐴𝐴' = 𝐴𝐶' 3. Phép nhân véc tơ với một số . * Các kết quả trong mặt phẳng đều áp dụng cho trong không gian .

Ví dụ1 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC .G là trọng tâm của tam giác BCD.Chứng minh rằng :

A

B C

D

A' D'

C' B'

ThuVienDeThi.com

Véc tơ trong không gian

Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 3

𝑎) 𝑀𝑁= 1

2(𝐴𝐵+ 𝐷𝐶) 𝑏) 𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 3𝐴𝐺

Bài giải :

Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì :

𝐺𝐵+ 𝐺𝐶+ 𝐺𝐷= 0 (1) Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1). b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau :

𝐴𝐵= 𝐴𝐺+ 𝐺𝐵 (2)

𝐴𝐶= 𝐴𝐺+ 𝐺𝐶 (3) 𝐴𝐷= 𝐴𝐺+ 𝐺𝐷 (4) ⟹𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 3𝐴𝐺+ (𝐺𝐵+ 𝐺𝐶+ 𝐺𝐷 ) = 3𝐴𝐺

II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC TƠ

1. Khái niệm đồng phẳng của ba véc tơ trong không gian

* Trong không gian cho ba véc tơ . Nếu từ một điểm O bất kỳ ta vẽ 𝑎,𝑏 ,𝑐 ≠0 ,khi đó có thể xảy ra hai trường hợp : 𝑂𝐴= 𝑎 ; 𝑂𝐵= 𝑏 ; 𝑂𝐶= 𝑐

 Trường hợp OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt phẳng ,khi đó ta nói rằng ba véc tơ không đồng phẳng . 𝑎,𝑏 ,𝑐  Trường hợp OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng ,thì khi đó ta nói ba véc tơ đồng phẳng . Trong trường hợp này giá của ba véc tơ luôn song song với 𝑎,𝑏 ,𝑐 một mặt phẳng .

2. Định nghĩa

Trong không gian ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng song song với một mặt phẳng .

* Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng . 𝐵𝐶,𝐴𝐷,𝑀𝑁.

Bài giải :

Gọi P,Qlần lượt là trung điểm của AC và BD .Ta có PN // MQ và PN=MQ=1/2 AD. Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành .mp(MNPQ) chứa đường thẳng MN và // với các đường thẳng AD và BC .

A

B D

A

M

N

P

Q

C

B

A

M

N

P

Q

C

B

A

M

N

P

Q

C

B D

A

M

N

P

Q

C

B

ThuVienDeThi.com