Chuyên đề Hình học 11 - Chương 3 Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

1

§1: VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN. SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VÉC TƠ

A. LÝ THUYẾT

1. Định nghĩa và các phép toán

 Định nghĩa, tính chất, các phép toán về vectơ trong không gian được xây dựng hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng.  Lưu ý: + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB BC AC     

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB AD AC     

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: ' ' AB AD AA AC       

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý.

Ta có: ; 0 IA IB     

2 OA OB OI     

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có:

0; 3 GA GB GC OA OB OC OG              

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có:

0; 4 GA GB GC GD OA OB OC OD OG                  

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương: ( 0) ! : a vaø b cuøng phöông a k R b ka          

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý. Ta có:

; 1 OA kOB MA kMB OM k    

    

2. Sự đồng phẳng của ba vectơ

 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ , trong đó không cùng phương. , , a b c

   a vaø b

 

Khi đó: đồng phẳng  ! m, n  R: , , a b c

   c ma nb  

  

 Cho ba vectơ không đồng phẳng, tuỳ ý. , , a b c

   x

Khi đó: ! m, n, p  R: x ma nb pc       

3. Tích vô hướng của hai vectơ

 Góc giữa hai vectơ trong không gian:

A A 0 0 , ( , ) (0 180 ) AB u AC v u v BAC BAC           

 Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian:

+ Cho . Khi đó: , 0 u v 

  . . .cos( , ) u v u v u v     

+ Với . Qui ước: 0 0 u hoaëc v       . 0 u v  

+ . 0 u v u v      

B. CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Sử dụng các phép toán về véc tơ và các tính chất

Cần nhớ:

Quy tắc 3 điểm Hệ thức véc tơ đối với trung điểm Điều kiện 3 điểm thẳng hàng Các công thức tích vô hướng

ThuVienDeThi.com

Chương 3: Véc tơ trong không gian. Quan hệ vuông góc

2

Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD. I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

1 IJ ( ) 2 AC AD AB = + - ur uuur uuur uuur

Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Đường chéo AC’ cắt mp(A’BD) tại G1. Chứng minh rằng G1 là trọng tâm của tam giác A’BD. Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD. E, F là những điểm xác định bởi ; . Chứng minh BE kBC = uur uuur

AF k AD = uuur uuur

rằng trung điểm của các đoạn AB, CD, EF thẳng hàng. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có AB=2a; CD=2b; I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD và IJ=2c. M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:

a) 2 2 2 2 2 2 MA MB MI a + = + b) , với G là trọng tâm của tứ diện. Suy ra vị 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2( ) MA MB MC MD MG a b c + + + = + + + trí của M để đạt GTNN. 2 2 2 2 MA MB MC MD + + + Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’ có B’C’ =CD. M, N là hai điểm di động lần lượt trên hai cạnh B’C’ và CD sao cho B’M=CN. E là giao điểm hai đường chéo của mặt BCC’B’ và I là trung điểm của của MN. Hãy biểu thị véc tơ theo hai véc tơ . Suy ra rằng điểm I di động trên một đường thẳng EI uur

' ', B C CD uuuur uuur

cố định.

Dạng 2: Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng

Ví dụ 1: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. M, N lần lượt là trung điểm của AD và C’D’. Chứng minh rằng ba véc tơ đồng phẳng. , ', ' MN AC DD uuur uuur uuuur

Ví dụ 2: Cho 4 véc tơ thỏa mãn . Chứng minh rằng ba véc tơ , , , a b c d

r r r ur 2 3 2 0

2 5 7 7 0

a b c d

a b c d

ìï + + + = ïïíï - - + = ïïî

r r r ur r

r r r ur r , , b c d

r r ur

đồng phẳng. Ví dụ 3: cho hai nửa đường thẳng Ax, By chéo nhau. M, N là hai điểm di động lần lượt trên trên Ax, By ; E, I lần lượt là trung điểm của AB và MN. Chứng minh rằng điểm I nằm trong một mặt phẳng cố định. Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD …