Chuyên đề Nhị thức Newton và ứng dụng

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 1

CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG A.LÍ THUYẾT: 1.Các hằng đẳng thức ( )

( )

( )

( )

( )

0

1

2 2 2

3 3 2 2 3

4 4 3 2 2 3 4

1

2

3 3

4 6 4

...

a b

a b a b

a b a ab b

a b a a b ab b

a b a a b a b ab b

+ =

+ = +

+ = + +

+ = + + +

+ = + + + +

2.Nhị thức Newton( Niu-tơn) a.Định lí:

( ) 0 1 1 1 1

0 ...

n n n n n n n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C ab C b C a b − − − −

= + = + + + + =∑

Kết quả:

*( ) ( ) ( ) ( )

0 0 1

k n n n n k k n k k n k k n n k k a b a b C a b C a b − −

= = − = + − = − = −     ∑ ∑

*( ) 0 1

0 1 . . ... .

n n k k n n n n n n k x C x C C x C x

= + = = + + + ∑

b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn ( )

n a b + : -Số các số hạng của công thức là n+1 -Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n -Số hạng tổng quát của nhị thức là: 1

k n k k k n T C a b − + =

(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển ( )

n a b + ) -Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau. - 1 0 2 ... n n n n n n C C C − = + + +

- ( ) 0 1 0 ... 1 n n n n n C C C = − + + − -Tam giác pascal: 1 Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng

n k

ThuVienDeThi.com

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 2

0 1 2 3 4 5 ....

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 1

4 1 4 6 4 1

5 1 5 10 10 5 1

Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi

1 1 1 k k k n n n C C C − − − = + (Với 1 < k < n) 3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng:

• ( )

1 0

0 2 1 1 ...

n n n k n n n n n n k

C C C C −

= = + = = + + + ∑

• ( ) ( ) ( ) 0 1

0 0 1 1 1 ... 1

n n k n k n n n n n k

C C C C

= = − = − = − + + − ∑

• ( )

0 1 1 0

0 1 ...

n n k n k n n n n n n n k x C x C x C x C x − −

= + = = + + + ∑

• ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1

0 1 1 ... 1

n n n n k k n n n n n n k x C x C x C x C x

= − = − = − + + − ∑

• ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0

0 1 1 ... 1

n n k n k n k n n n n n n n k x C x C x C x C x − −

= − = − = − + + − ∑

4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton.

a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có

1

n

i n i

C

=∑ với i là số tự nhiên liên

tiếp.

b. Trong biểu thức có ( )

1 1

n

i n i

i i C

= − ∑ thì ta dùng đạo hàm ( ) i∈ℕ

• Trong biểu thức có ( )

1

n

i n i

i k C

= + ∑ thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm

• Trong biểu thức có

1

n

k i n i

a C

=∑ thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.

ThuVienDeThi.com

NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG

Nguyễn Trung Hiếu-11 Toán-Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn-Quảng Trị 3

• Trong biểu thức có

1

1

1

n

i n i

C i = − ∑ thì ta lấy tích phân xác định trên [ ] ;a b thích hợp.

• Nếu bài toán cho khai triển ( ) ( ) ( ) ( )

1 1

i n n n n i a n i ib a b i a b i n n i i x x C x x C x − −+

= = + = = ∑ ∑ thì hệ

số của xm là Ci n sap cho phương trình ( ) a n i bi m − + = có nghiệm i∈ℕ

• i n C đạt MAX khi 1 2 n i − = hay 1 2 n i + = với n lẽ, 2 n i = với n chẵn.

B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON. I.Các bài toán về hệ số nhị thức. 1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton. Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức: ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 14 1 1 ... 1 Q x x x x = + + + + + +

Ta được đa thức: ( )

14 0 1 14 ... Q x a a x a x = + + + Xác định hệ số a9.

Giải: Hệ số x9 trong các đa thức ( ) ( ) ( ) 9 10 14 1 , 1 ,..., 1 x x x + + + lần lượt là: 9 5 9 9 10 14 , ,..., C C C Do đó:

9 5 9 9 9 10 14 1 1 1 1 ... 1 10 .10.11 .10.11.12 .10.11.12.13 .10.11.12.13.14 2 6 24 20 a C C C = + + + = + + + + +

=11+55+220+715+2002=3003

Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: 2 2 3 2 1 6 10 2

x x x A A C x − ≤ +

Giải: Điều kiện: x là số nguyên dương và 3 x ≥ Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

2 1 2 6 2 1 1 10 2 3! 2 2 1 2 2 1 …