Chuyên đề 3 Ôn tập giải tích 11

Chuyên đề 3: ÔN TẬP GIẢI TÍCH 11

A. Giới hạn

1. Các giới hạn cơ bản:

1) (C là hằng sằ) x x0 limC C  

2) 0 x x0 lim f(x) f(x )  

3) , , , xlimC C  

x

1 lim 0 x   k x

C lim 0 x  

Một vài giới hạn đặc biệt

a) với k nguyên dương k

xlim x

 

b) với k là số lẻ k

xlim x

 

a) với k là số chẵn. k

xlim x

 

2. Các quy tắc tính giới hạn:

1)   x x x x x x 0 0 0 lim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)      

2)   x x x x x x 0 0 0 lim f(x).g(x) lim f(x). lim g(x)    

3)







     

x x0

x x0

x x0

lim f(x) f(x) lim g(x) lim g(x)

Quy tắc 1: Nếu và thì được cho trong bảng sau:

0 x x lim f (x)

 

0 x x lim g(x) L 0     

0 x x lim f (x).g(x) ?  

0 x x lim f (x)

  Dấu của L  

0 x x lim f (x).g(x)

    

+  + 

    (Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: ) 0 0 x x ;x x ;x ;x      

Quy tắc 2: Nếu và và hoặc với mọi ,

0 x x lim f (x) L 0   

0 x x lim g(x) 0   g(x) 0  g(x) 0   0 x I\ x 

trong đó I là một khoảng nào đó chứa x0 thì được cho trong bảng sau:

0 x x

f (x) lim ? g(x)  

Dấu của L Dấu của g(x)

0 x x

f (x) lim g(x) 

+ +  

+  + 

    (Quy tắc nầy vẫn đúng cho các trường hợp sau: ) 0 0 x x ;x x ;x ;x      

ThuVienDeThi.com

3. Các ví dụ: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau a) b)   3 2

xlim x 3x 4x 2       3 2

xlim x 3x 4   

c) d)   4 2

xlim x 2x 3   

4

2

x

x 3 lim x 2 2 

        Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau

a) b) x

2x 1 lim x 2 

  x

2 x lim 2x 1 





a) b) x 2

2x 1 lim x 2  

  1 x 2

2 x lim 2x 1        





Ví dụ 3: Tính các giới hạn sau

a) b)

2

2 x

2x 3x 1 lim x 2x 

  

2

x

2x 3x 1 lim 2x x 2 

        

a) b)

2

x 2

x 2x 3 lim x 2  

  

2

x 2

x 2x 3 lim x 2  

   B. Liên tục Các định nghĩa:

 Định nghĩa 1: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng và .   a;b   0 x a;b 

Hàm số f được gọi là liên tục tại điểm x0 nếu

0

0 x x lim f (x) f (x )  

 Định nghĩa 2: Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng .   a;b

Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng   a;b   a;b

 Định nghĩa 3: Giả sử hàm số f(x) xác định trên đoạn .   a;b

Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và   a;b   a;b x a

x b

lim f (x) f (a) lim f (x) f (b)









    Định lý: 1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó. 2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng). 3) Các hàm lượng giác liên tục trên tập xác định của chúng. y sin x, y cos x, y tan x, y cot x     C. Đạo hàm 1) Ñònh nghóa ñaïo haøm cuûa haøm soá taïi moät ñieåm: Cho haøm soá y=f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a;b) vaø . 0 x (a;b) 

Đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm x0, ký hiệu là f'(x0) hay y'(x0) là giới hạn hữu hạn (nếu có)

cuûa



 

0

x x0 0

f(x) f(x ) lim x x

0 0 x x0 0

f(x) f(x ) f '(x ) lim x x 

  

ThuVienDeThi.com