Đề cương Đại số 11 chương 3 Dãy số - Cấp số cộng Cấp số nhân

Trường THPT Phú Tân Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

1

CHƯƠNG III. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN A. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH QUY NẠP

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.  Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k  1), chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1. Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n p, ta thực hiện như sau + Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p; + ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k  p và phải chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. II. VÍ DỤ VẬN DỤNG

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 2 1 ... , * 2 4 8 2 2

n

n n n N       

Giải

Bước 1: Với n = 1 thì mệnh đề trở thành là mệnh đề đúng 1 1 2 2 

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k  1 nghĩa là: 1 1 1 1 2 1 ... 2 4 8 2 2

k

k k      

Ta chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

1

1 1 1 1 1 1 2 1 ... 2 4 8 2 2

k

k k



 

     

Thật vậy

1

1

1

1

1 1 1 1 1 ... 2 4 8 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2

k k

k

k k

k

k

VT

VP









     

  

  

Vậy mệnh đề đã cho đúng với mọi * n N 

Ví dụ 2: Chứng minh rằng: chia hết cho 3 , 3 2 3 5 n u n n n    * n A

Giải Bước 1: Với , vế trái bằng 9 chi hết cho 3. Mệnh đề đã cho đúng. 1 n  Bước 2: Giả sử mệnh đề đã cho đúng với , tức là: chia hết cho 3. n k  3 2 3 5 ku k k k   

Ta chứng minh hệ thức đã cho cũng đúng với 1: n k  

Ta có:       3 2 1 1 3 1 5 1 ku k k k      

    

3 2 2

2 3 5 3 3 3

3 3 3 k

k k k k k

u k k

     

   

ThuVienDeThi.com

Trường THPT Phú Tân Chuyên đề: Dãy số - Cấp số cộng – Cấp số nhân

2

Vậy chi hết cho 3, ta được điều phải chứng minh. 1 ku  III. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:

a) 1 + 2 + … + n = b) ( 1) 2 n n  2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 n n n n      

c) d)

2 3 3 3 ( 1) 1 2 ... 2 n n n          

2 1.4 2.7 ... (3 1) ( 1) n n n n      

e) f) ( 1)( 2) 1.2 2.3 ... ( 1) 3 n n n n n        1 1 1 ... 1.2 2.3 ( 1) 1 n n n n      

Bài 2. Chứng minh rằng với mọi n  N*, ta có:

a) chia hết cho 6. b) chia hết cho 3. 3 11 n n  3 2 3 5 n n n  

c) chia hết cho 5. d) chia hết cho 3. 2 2 2 1 7.2 3 n n    3 2 n n 

e) chia hết cho 7. f) chia hết cho 6. 2 1 2 3 2 n n    13 1 n  B. DÃY SỐ

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, … : * ( ) u

n u n  A A 

2. Dãy số tăng, dãy số giảm:  (un) là dãy số tăng  un+1 > un với  n  N*.

 un+1 – un > 0 với  n  N*

 với n  N* ( un > 0). 1 1 n

n

u

u



 (un) là dãy số giảm  un+1 < un với n  N*.

 un+1 – un< 0 với  n  N*

 với n  N* (un > 0). 1 1 n

n

u

u



3. Dãy số bị chặn  (un) là dãy số bị chặn trên  M  R: un  M, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn dưới  m  R: un  m, n  N*.  (un) là dãy số bị chặn  m, M  R: m  un  M, n  N*. II. VÍ DỤ VẬN DỤNG Ví dụ 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số:

1 2 1 ) 2 ) 5 2 n n

n a u b u n n

     Giải

ThuVienDeThi.com