Chuyên đề Hàm số liên tục - Chương IV Đại số và Giải tích 11

Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 1

Chủ đề 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC

A. Tóm tắt lý thuyết

1) Hàm số liên tục tại một điểm

 Hàm số liên tục: Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên (a;b) và 0 ( ; ) x a b  .

Hàm số f(x) liên tục tại x0

0

0 lim ( ) ( ) x x f x f x   

 Hàm số không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại x0

2) Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn:

 Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b). f(x) liên tục trên khoảng (a;b)

khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc (a;b).

 Hàm số y=f(x) xác định trên khoảng [a;b]. f(x) liên tục trên khoảng [a;b]

khi và chỉ khi f(x) liên tục trên khoảng (a;b) và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( ) x a x b f x f a f x f b      

Chú ý:

 +,-,*,/ các hàm liên tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó.

 Hàm sơ cấp: đa thức, phân thức, lượng giác liên tục trên từng khoảng

xác định của chúng.

3) Tính chất của hàm số liên tục

 Định lí: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và ( ) ( ) f a f b  M  nằm giữa f(a),

f(b), ( ; ) : ( ) c a b f c M  

 Hệ quả: Hàm số f(x) liên tục trên [a;b] và ( ). ( ) 0 f a f b   ( ; ) : ( ) 0 c a b f c  

Nhận xét:

 Dùng hệ quả để chứng minh phương trình f(x)=0 có ít nhất nghiệm trên

(a;b).

 Đồ thị hàm số liên tục là đường liền nét

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 2

B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm, khoảng, đoạn

Phương pháp :

Phương pháp 1:

Hàm số  y f x  liên tục tại 0 x x  nếu    0 lim

o x x f x f x  

Phương pháp 2:

Hàm số  y f x  liên tục tại 0 x x  nếu   lim lim

o o x x x x f x f x     

Sử dụng thêm các phương pháp khử dạng vô định đã học ở phần trước.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số

       

x x f x x

x

3 , 1 ( ) 1 2 , 1

:

 Tập xác định D = R \ {1}

 Với   x 1;1  hàm số x f x x

3 ( ) 1    xác định nên liên tục.

 Xét tại x = 1  D nên hàm số không liên tục tại x = 1

 Xét tại x = –1

Bài tập mẫu 1: Xét tính liên tục của hàm số

x x f x x

x

3 , 1 ( ) 1 2 , 1

       

trên tập xác định của hàm số.

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Hàm số liên tục- Chương IV: Đại số và Giải tích 11

Nguyễn Quốc Tuấn (Tổng biên tập của Xuctu.com)-090.567.1232 Trang số 3

   x x

x f x f x 2 2

3 lim lim 1 1 2 1  

     

Nên hàm số không liên tục tại x = –1

Hướng dẫn giải

 Hàm số liên tục với mọi x  3.

 Tại x = 3, ta có:

+ f (3) 7 

+

x x f x x 3 3 lim ( ) lim (2 1) 7       

+

x x x x x f x x x 3 3 3 ( 2)( 3) lim ( ) lim lim ( 2) 1 ( 3)             

 Hàm số không liên tục tại x = 3.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng ( ;3), (3; )  .

Bài tập mẫu 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định

của nó:

x x khi x f x x x khi x

2 5 6 3 ( ) 3 2 1 3

          

ThuVienDeThi.com