Chuyên đề phụ đạo 11

GV: Thạch Thành Tuấn - CHUYÊN ĐỀ PHỤ ĐẠO 11 - 0918987693

- 1 -

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

*ôn tập kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số:

Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực 1. Giới hạn đặc biệt:

1 lim 0 n n   ; 1 lim 0 ( ) k n k n



  A

lim 0 ( 1) n

n q q    ; lim

n C C  

2. Định lí : a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì  lim (un + vn) = a + b  lim (un – vn) = a – b  lim (un.vn) = a.b

 lim n

n

u a v b  (nếu b  0)

b) Nếu un  0, n và lim un= a thì a  0 và lim

n u a 

c) Nếu n n u v  ,n và lim vn = 0

thì lim un = 0 d) Nếu lim un = a thì lim n u a 

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 1

u

q   1 q 

1. Giới hạn đặc biệt:

lim n n   lim ( ) k

n n k 

  A

lim ( 1) n

n q q   

2. Định lí:

a)Nếu lim n u  thì 1 lim 0

nu



b) Nếu lim un = a, lim vn =  thì lim n

n

u

v = 0

c) Nếu lim un =a  0, lim vn = 0

thì lim n

n

u

v = . 0 . 0 n

n

neáu a v neáu a v      d) Nếu lim un = +, lim vn = a

thì lim(un.vn) = 

0 0 neáu a neáu a     * Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô

định: 0

0 , 

,  – , 0. thì phải tìm cách khử

dạng vô định.

*Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:

 Chia cả tử và mẫu cho luỹ thừa cao nhất của n và đặt nhân tử chung.

*Ví dụ: a)

1 1 1 1 lim lim 3 2 3 2 2

n n n

n

     

b)

2 1 1 3 3 lim lim 1 1 1 2 2

n n n n n

n

       

c) 2 2

2 4 1 lim( 4 1) lim 1 n n n n n

             Nhân lượng liên hợp:

Dùng các hằng đẳng thức:       3 3 2 2 3 3 3 ; a b a b a b a b a ab b a b         

*Ví dụ:   2 lim 3 n n n   =     

2 2

2

3 3 lim

3

n n n n n n

n n n

   

 

=

2

3 lim

3

n

n n n  

= 3

2

ThuVienDeThi.com

TTT - CHUYÊN ĐỀ PHỤ ĐẠO 11

-2-

 Dùng định lí kẹp: Nếu n n u v  ,n và lim vn = 0 thì lim un = 0

*Ví dụ: a) Tính sin lim n n .

Vì 0  sin 1 n n n  và 1 lim 0 n  nên sin lim 0 n n 

b) Tính 2 3sin 4cos lim

2 1

n n

n





.

Vì 2 2 2 2 3sin 4cos (3 4 )(sin cos ) 5 n n n n     

nên 0  2 2 3sin 4cos 5

2 1 2 1

n n

n n

   

.

Mà 2

5 lim 0 2 1 n

 

nên 2 3sin 4cos lim 0 2 1

n n

n

  

*Chú ý: Khi tính các giới hạn dạng phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:  Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.  Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu.

 Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là + nếu hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫu cùng dấu và kết quả là – nếu hệ số của luỹ thừa cao nhất của tử và của mẫumẫu trái dấu(ta thường đặt nhân tử chung của tử, mẫu riêng).

*Các ví dụ:

*Ví dụ1: lim = lim = 2

3 1 3 2



  n

n n

n

n

2 1

3 1 3 2



 

3 3 

*Ví dụ2: lim( ) = limn.( ) = + . (Vì limn = + và lim( ) = 2 > 0) n n n   2 1 1 1  n   1 1 1  n

*Ví dụ3: a)

2

2 2 2

2 2

2 2

3 2 5 2 5 3 3 2 5 3 lim lim lim 1 8 7 8 7 8 7 7

n n n n n n n n n n n

n n n

             

b)

2

2 2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 5 lim lim lim 3 2 2 3 2 3 3 3

n n n n n n n n

n n

             

c)      2 2 2 2 2

2 2

2 3 2 3 2 3 lim 2 3 lim lim 2 3 2 3

n n n n n n n n n n n n

n n n n n n

                   

2

2 2

3 2 2 3 2 3 2 lim lim lim 1 1 1 2 3 2 3 2 3 1 1 1 1

n n n n n n n n n n n

                       

là biểu thức liên hợp của 2 2 3 n n n    2 2 3 n n n   

ThuVienDeThi.com