Chuyên đề Tổ hợp

Chuyên đề : Tổ hợp Mục tiêu: Ôn lại kiến thức về quy tắc cộng, quy tắc nhân,hoán vị, tổ hợp,chỉnh hợp.Nhằm củng cố lÝ thuyết về tổ hợp. A.Lý thuyết: 1.Quy tắc cộng ,quy tắc nhân. 2.Hoán vị ,chỉnh hợp ,tổ hợp.

-Số hoán vị: , Đk: n ! .( 1).( 2)...2.1 nP n n n n     ; 1 N n  

-Số chỉnh hợp: (k thừa số) ! .( 1).( 2)...2.1 ( )!

k n

n A n n n n k      Đk: n,k . ,1 N k n   

-Số tổ hợp: đk: n,k . ! !( )!

k n

n C k n k   ,0 N k n   

-Giai thừa: đk: . ! .( 1).( 2)...2.1 n n n n    ; 1 n N n   3.Một số công thức liên hệ:

, , , ! n n n A P n   k n k n n C C   . ! k k n n A C k  1 1 1 k k k n n n C C C      4.Công thức nhị thức Niu Tơn:

a.Khai triển:

0 1 1 2 2 2 ( ) ... ... n n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b           

b.Tính chất: -Trong khai triển có n+1 số hạng.

-Số hạng tổng quát thứ k+1 là . 1

k n k k k n T C a b   -Khai triển đặc biệt: 0 1 2 (1 1) 2 ... n n n n n n n C C C C        0 1 2 (1 1) 0 ... ( 1) . n n n n n n n n C C C C        B.Bài tập:

Dạng 1:Lớp bài toán chọn Lưu ý: -Quan tâm đến điều kiện các chữ số có khác nhau hay không.

-Đối với tập số có xuất hiện số 0 cần lưu ý khi chọn chữ số đầu. -Đối với bài toán yêu cầu lập số có tính chất đặc biệt cần ưu tiên chọn trước. Bài 1:Cho các số :1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:

a.Có 5 chữ số. b.Có 6 chữ số khác nhau. c. Có 4 chữ số khác nhau chẵn. Giải:

a.Giả sử số cần tìm có dạng: 1 2 3 4 5 a a a a a Chọn a1 từ tập số đã cho có 6 cách chọn, ứng với mỗi cách chọnđó có 6 cách chọn a2.Tương tự có 6 cách chọn a3,a4,a5,a6. Theo quy tắc nhân có :56 các số thoả mãn yêu cầu. b.Số các chữ số cần tìm là số hoán vị của 6 phần tử :P6=6!=720(số) c.Giả sử số cần tìm có dạng: 1 2 3 4 a a a a -Chọn a4 chẵn có 3 cách chọn . -Số cách chọn các số còn lại là: 5 3 5.4.3 60 A   -Theo quy tắc nhân có: 3.60=180

ThuVienDeThi.com

Bài 2:Cho các số :0,1,2,3,4,5,6. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả mãn đk:

a.Có 5 chữ số khác nhau. b.Có 4 chữ số khác nhau,chẵn. c. Có 5 chữ số khác nhau chẵn nhất thiết có mặt số 3. d.Có 8 chữ số thoả mãn số 1 có mặt 2 lần các số khác có mặt đúng 1 lần. Giải:

a.Số các chữ số cần tìm là: 6. (số) 6 4 2160 A  b.Giả sử số cần tìm có dạng: 1 2 3 4 a a a a -TH1: a4 là số 0 thì số các số cần tìm là: (số) 3 6 120 A  -TH2:a4 chẵn khác 0: có 3 cách chọn

Chọn a1khác 0 có 5 cách chọn, chọn a2,a3 có cách chọn. 6 2 A Vậy có tất cả 3.5. =450 (số) 6 2 A Theo quy tắc cộng có tất cả:120+450=570(số) c.Theo phần a có 2160 số có 5 chữ số khác nhau (gồm 2 loại: có số 3 và không có số 3).trong đó số không có mặt chữ số 3 là: 5 (số) 4 5 600 A  Vậy số có 5 chữ số khác nhau có mặt số 3 là:2160-600=1560(số) d.Vì số 1 có mặt 2 lần nên ta có thể viết lại tập số dưới dạng:0,1a1b2,3,4,5,6. Lập số có 8chữ số khác nhau từ tập số trên có:7.P7=35280(số) Trong các số trên do 2 số 1a,1b trùng nhau nên mỗi số trên bị lặp lại 2 lần vậy số các số cần tìm là:35280:2=17640 (số). Bài 3: Từ các số 1,2,3,4,5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.Tính tổng các số đó.

Giải: Số các chữ số cần tìm là (số). 5 4 120 A  Tính tổng:(Sử dụng pp ghép cặp) Ghép 120 số thành 60 cặp sao cho tổng mỗi cặp là 6666.(VD:1234+5432=6666) lưu ý với mỗi số có ! một số tương ứng.

Vậy tổng các số đó là:6666.60=399960 Bài 4: Từ các số 0,1,2,3,4,5.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.Tính tổng các số đó. Giải:

-Số các số cần tìm là : (số) 3 6 6. 720 A  -Tính tổng :pp cộng cột

+Hàng đơn vị:các chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt 5. lần.Vậy tổng hàng đơn vị 2 5 A là (1+2+3+4+5+6). 5. =21. 5. =105.20=2100 2 5 A 2 5 A + Tương tự hàng chục ,hàng trăm có tổng là:21000,210000 +Hàng nghìn : chữ số 1,2,3,4,5,6 có mặt lần. 3 6 A Vậy tổng hàng nghìn 21. .10000=2520000 3 6 A Vậy tổng cần tìm là:2520000+210000+21000+2100=2753100. Bài 5:Cho tập hợp A={0,1,2,3,4,5,6,7}.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a)Có 4 chữ số? b) Có 4 chữ số khác nhau? c)Chẵn có 3 chữ số khác …