Chuyên đề Tổ hợp Xác suất - Trần Văn Tài

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT 2017

ADDMIN: TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG HƯNG YÊN 1

1. Hoán vị

 Tổng quát:

— Cho tập A gồm n phần tử ( 1). n  Khi xếp n phần tử này theo một thứ tự, ta được một hoán vị các phần tử của tập hợp , A (gọi tắt là một hoán vị của ). A

— Số hoán vị của một tập hợp có n phần tử là: ! .( 1).( 2)....3.2.1. n P n n n n    

2. Chỉnh hợp

 Tổng quát:

— Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên , (1 ). k k n   Khi lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự, ta được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của , A (gọi tắt là một chỉnh hợp n chập k của ). A

— Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là: ! ( )!

k n n A n k   

— Một số qui ước: 0 0! 1, 1, !. n n n A A n   

3. Tổ hợp

 Tổng quát:

— Cho tập hợp A có n phần tử và cho số nguyên , (1 ). k k n   Mỗi tập hợp con của A có

k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của . A

— Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử là ! ( )! ! !

k k n n A n C n k k k    

— Một số quy ước: 0 0 1, 1, n n C A   với quy ước này, ta có ! ( )! !

k n n C n k k   đúng với số

nguyên dương ,k thỏa: 0 . k n  

— Tính chất: , (0 ) k n k n n C C k n     và 1 1 , (1 ) : n k k n n n C C C k n      được gọi là hằng

đẳng thức Pascal).

NHÒ THÖÙC NEWTON

 Nhị thức Newton

0 1 1 2 2 2 1 1

0 ( ) . . .

n n k n k k n n n n n n n n n n n n n k a b C a b C a C a b C a b C ab C b     

        

 Nhận xét

Trong khai triển ( )n a b  có 1 n  số hạng và các hệ số của các cặp số hạng cách đều số

hạng đầu và số hạng cuối thì bằng nhau: . k n k n n C C  

CHUYÊN ĐỀ: TỔ HỢP – XÁC SUẤT

ThuVienDeThi.com

CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT 2017

ADDMIN: TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 – CHIA SẺ VÌ CỘNG ĐỒNG HƯNG YÊN 2

Số hạng tổng quát dạng: 1 . . k n k k n n T C a b   và số hạng thứ N thì 1. k N  

Trong khai triển ( )n a b  thì dấu đan nhau, nghĩa là ,  rồi ,  rồi , ….…

Số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần nhưng tổng số mũ a và b bằng . n

Nếu trong khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b những giá trị đặc biệt thì sẽ thu được những công thức đặc biệt. Chẳng hạn như:

1 0 1 1 0 1 (1 ) 2 . x n n n n n n n n n n n n x C x C x C C C C           

1 0 1 1 0 1 (1 ) ( 1) ( 1) 0. x n n n n n n n n n n n n n x C x C x C C C C           

 Tam giác Pascal

Các hệ số của khai triển: 0 1 2 ( ) , ( ) , ( ) , ..., ( )n a b a b a b a b     có thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác PASCAL.

0 : 1 1 : 1 1 2 : 1 2 1 3 : 1 3 3 1 4 : 1 4 6 4 1 5 : 1 5 10 10 5 1 6 : 1 6 15 20 15 6 1 7 : 1 7 21 35 35 21 7 1 ..............

n n n n n n n n

        ..................................

1 1 1 k k n n

k n

C C

C

   



BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

 Biến cố

a) Phép thử và không gian mẫu

— Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà:

+ Kết quả của nó không đoán trước được. + Có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử đó.

— Tập hợp mọi kết quả của một phép thử T được gọi là không gian mẫu của T và được kí hiệu là .  Số phần tử của không gian mẫu được kí hiệu là ( ). n 

b) Biến cố

Tổng quát:

 Biến cốA liên quan đến phép thử T là biến cốmà việc xảy ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của . T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra, được gọi là một kết quả thuận lợi cho . A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là . A 

 Xác suất

Hằng đẳng thức PASCAL

ThuVienDeThi.com