Chuyên đề Đại số và giải tích 1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. Định nghĩa Cho hàm số  y f x  xác định trên tập D.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số  y f x  trên tập D, kí hiệu  max

D f x M  , khi:

 max

D f x M  

  0 0

:

:

x D f x M

x D f x M

      

.

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số  y f x  trên tập D, kí hiệu  min

D f x m  , khi:

 min

D f x m  

  0 0

:

:

x D f x m

x D f x m

      

.

B. Bài tập I. DẠNG 1: Quy tắc tìm MAX, MIN trên một khoảng (a;b) Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số  y f x  trên khoảng   ;a b .

1. Tính  ' f x . Tìm các điểm mà tại đó  ' f x bằng 0 hoặc  ' f x không xác định.

2. Lập bảng biến thiên. 3. Dựa vào bảng biến thiên kết luận GTLN, GTNN. * Chú ý: Không xác định kí hiệu || Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số .

Giải Tập xác định: Ta có

; f’(x)=0 vô nghiệm

Bảng biến thiên: ……………… Dấu “=” xảy ra khi Vậy

Ví dụ 2: Tìm GTLN-GTNN của: 1) trên khoảng 2) 3)

1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 y x x   trên khoảng (0; ) 

Giải: Dễ thầy h àm số liên tục trên (0; ) 

2

2 2 2 1 1 ' 1 ' 0 1 0 1 x y y x x x x

        .

Dễ thấy 1 (0; ) x   Vậy Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm số không có giá trị lớn nhất.

2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số 2 f(x) x x 2x 2 = - - + .

Giải: Hàm số f(x) liên tục trên ¡ . Ta có:

/ 2 2

x 1 f (x) 1 0 x 2x 2 x 1 x 2x 2 - = - = Û - + = - - +

2 2 x 1

x 2x 2 (x 1)

³ ìïï Û íï - + = - ïî

(vô nghiệm).

Vậy hàm số không đạt min và max (vì không có điểm dừng).

3: Tìm GTLN và TGNN của hàm số : 2 3

2

2

 

  x x

x y

Giải: :+TXĐ : D = R



2 f x 2x 8x 1   

D = ¡

  

2 2 f x 2x 8x 1 9 2 x 2 9, x D       

2 x D = Î max ( ) 9 x D f x

Î =

1 y x x   (0; )  2 f(x) x x 2x 2 = - - + 2 3

2

2

 

  x x

x y

ThuVienDeThi.com

+  

2 2

2

1

3 2 '

 

  

x x

x x y ; y’ = 0  





  

    

7 6 3

2 1

y x

y x

+ 1 lim    x

y ; 1 lim    x

y

+BBT :

x   -1 3   y’ + 0 - 0 +

y

2 1 CĐ CT

1 7

6

+Vậy : 2 max  y tại x = -1 ; 7 6

min  y tại x = 3

II. DẠNG 2 : Quy tắc tìm MAX, MIN trên đoạn [a;b]

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  y f x  trên đoạn   ;a b .

1. Tìm các điểm 1 2 , ,..., n x x x trên khoảng   ;a b , tại đó  ' f x bằng 0 hoặc  ' f x không xác định.

2. Tính         1 2 , , ,..., , n f a f x f x f x f b .

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có

   ; max

a b f x M  ,

   ; min

a b f x m 

1. HÀM ĐA THỨC

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =    3 2 2x 3x 12x 2 trên  [ 1; 2 ] Giải:  

 

 

            

¡

2 2

TX§: 1;2

1 ' 6 6 12; ' 0 6 6 12 0 2 1;2

D

x y x x y x x x

    ( 1) 15; (1) 5; (2) 6; f f f

 Vậy

          1;2 1;2 15 tại 1; 5 tại 1 Max y x Min y x

Ví dụ 4: Tính GTLN, GTNN của hàm số: y = 3 2 3 1 x x   trên đoạn [ -3;-1]

Giải:

* Trên đoạn [ -3;-1], ta có: y’ = 2 3 6 x x  ; y’ = 0 0 2 2 x x x

(loaïi)       

 [ -3;-1]

 y(-3) = -1, y(-1) = 1, y(-2) = 3 Vậy:

[ 3; 1] Max 

y = 3 tại x = - 2 ,

[ 3; 1] min 

y = -1 tại x = - 3

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số f(x) = x 4 -18x 2 +2 trên đoạn   4;1  Giải:

f ‘(x) = x x 36 4 3  = 0

        





   

  

   

) ( 4;1 3

4;1 3

4;1 0

loai x x x

f(0) = 2; f(3) = -79 ; f(-1) = -15 ; f(4) = -30 Vậy

  4 ;1

2 ) ( max



 x f ;

  4 ;1

79 ) ( min



  x f

Ví dụ 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số : y = x4 – 6x2 +2 trên [0;3]

Giải:

ThuVienDeThi.com