Chuyên đề Phương pháp giải phương trình vô tỉ

1

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 vế của phương trình

a) Phương pháp  Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B C D    , ta thường bình phương 2 vế , điều đó đôi khi lại gặp khó khăn

 Khi gặp phương trình dạng: 3 3 3 A B C   Ta lập phương 2 vế phương trình   3 3 3 3 . A B A B A B C      và sử dụng phép thế : 3 3 A B C   ta được phương trình

: 3 3 . . A B A B C C   

Ví dụ Ví dụ 1) Giải phương trình sau : 3 3 1 2 2 2 x x x x       Giải: Đk 0 x 

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:      1 3 3 1 2 2 1 x x x x x       ,

để giải phương trình này là không khó nhưng Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

3 1 2 2 4 3 x x x x     

Bình phương hai vế ta có : 2 2 6 8 2 4 12 1 x x x x x       Thử lại x=1 thỏa mãn.

Nhận xét : Nếu phương trình :     f x g x h x k x   

Mà có :     f x h x g x k x    , thì ta biến đổi phương trình về dạng :

    f x h x k x g x    sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả khi giải

xong nhớ kiểm tra lại nghệm xem có thỏa mãn hay không? Ví dụ 2) . Giải phương trình sau :

3

2 1 1 1 3 3 x x x x x x

        Giải: Điều kiện : 1 x  Bình phương 2 vế phương trình ? Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?

Ta có nhận xét :

3

2 1. 3 1. 1 3 x x x x x x

      

, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :

3

2 1 (2) 3 1 1 3 x x x x x x

        

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com

2

Bình phương 2 vế ta được:

3

2 2 1 3 1 1 2 2 0 3 1 3

x x x x x x x x

          

Thử lại : 1 3, 1 3 x x   l nghiệm

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình :     f x g x h x k x   

Mà có :    . . f x h x k x  thì ta biến đổi     f x h x k x g x   

2. Trục căn thức 2.1) Trục căn thức để xuất hiện nhân tử chung Phương pháp Khi gặp các phương trình vô tỉ mà ta có thể nhẩm được nghiệm 0x thì phương trình luôn đưa

về được dạng tích   0 0 x x A x   ta có thể giải phương trình  0 A x  hoặc chứng minh  0 A x  vô nghiệm ,

Để giải quyết triệt để ta cần chú ý điều kiện nghiệm của phương trình để có thể đánh giá phương trình  0 A x  bằng phương pháp đạo hàm hoặc sử dụng các bất đẳng thức.

Ví dụ 1) Giải phương trình sau :   2 2 2 2 3 5 1 2 3 1 3 4 x x x x x x x         

Giải: Ta nhận thấy :      2 2 3 5 1 3 3 3 2 2 x x x x x        v

     2 2 2 3 4 3 2 x x x x      

Ta có thể trục căn thức 2 vế :

 

2 2 2 2 2 4 3 6

2 3 4 3 5 1 3 1

x x

x x x x x x x

   

       

 

2 2 2 2 2 3 ( 2) 0 2 3 4 3 5 1 3 1 x

x x x x x x x

                    Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Ví dụ 2) Giải phương trình sau : 2 2 12 5 3 5 x x x     

Giải: Để phương trình có nghiệm thì : 2 2 5 12 5 3 5 0 3 x x x x        

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

  2 0 x A x   , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

 

 

2 2 2 2

2 2

2 2

4 4 12 4 3 6 5 3 3 2 12 4 5 3

2 1 2 3 0 2 12 4 5 3

x x x x x x x x

x x x x x x

                

                  

http://megabook.vn/ ThuVienDeThi.com