Chuyên đề 4 Đường tròn

CHUYÊN ĐỀ 4

ĐƯỜNG TRÒN

1. Để tìm phương trình của một đường tròn ta cần lưu ý:

. Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là :

( ) + ( = R2 2 x a − )

2 y b −

. Phương trình của (C) ở dạng khai triển :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0)

với c = a2 + b2 – R2 R2 = ⇔ 2 2 a b c + −

Do đó ta phải có điều kiện a2 + b2 – c 0 ≥

. Phương trình tham số của đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là:

(t x a R cost y b R sin t = + ⎧ ⎨ = + ⎩

∈ R)

2. Để viết phương trình tiếp tuyến với một đường tròn ta cần phân biệt :

a) Trường hợp biết tiếp điểm : ta dùng công thức phân đôi tọa độ :

Tiếp tuyến ( tại tiếp điểm M0(x0, y0) với : ) Δ

- đường tròn (C) : ( ) + = R2 là 2 x a − ( 2 y b − )

)

(x0 – a) (x – a) + (y0 – b) (y – b) = R2

- đường tròn (C) : x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là

x0x + y0y – a(x0 + x) – b(y0 + y) + c = 0

b) Trường hợp không biết tiếp điểm, ta áp dụng tính chất :

Đường thẳng ( tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R ) Δ

⇔ = R. Δ d(I, )

c) đường tròn (C) : ( ) + = R2 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là x =

a R. Ngoài 2 tiếp tuyến x = a

2 x a − ( 2 y b −

± ± R, mọi tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) đều có dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x0 ) + y0 nếu tiếp tuyến đi qua ( x0 , y0 ) là điểm nằm ngoài đường tròn.

Ví dụ

1 ThuVienDeThi.com

Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4).

a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B.

b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B.

c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7)

Giải

a) Phương trình đường tròn (C) có dạng :

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0

Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên :

0 4 4 0

16 8 0

c a c

b c

= ⎧ ⎪+ + = ⎨ ⎪ − + = ⎩

⇔

0 1

2

c a

b

= ⎧ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩

Vậy (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0.

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là AB nên pt dường tròn (C) là:

2 2 2 1 1 1 2 4 16 4 4 + + − = = + = (x ) ( y ) AB ( ) 5

Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với ( , ) ( ) M x y C ∈ ta có

0 = AM.BM JJJJG JJJJG

. Vậy pt đường tròn ( C ) là 0 − − + − − = A B A B (x x )(x x ) ( y y )( y y ) .

b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại :

. Tiếp điểm A(–2, 0) là : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0

⇔ x + 2y + 2 = 0

. Tiếp điểm B(0, 4) là : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0

⇔ x + 2y – 8 = 0

c) Đường tròn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y = 0 có tâm I(–1, 2) và bán kính R = 2 1 2 0 + − = 5 .Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là 1 = ± = −± x a R 5 . Hai tiếp tuyến này không qua M(4, 7)

Vậy phương trình tiếp tuyến qua M(4, 7) có dạng:

( ) Δ : y – 7 = k(x – 4)

⇔ kx – y + 7 – 4k = 0

( ) Δ tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ Δ d( I, ) = R

2 ThuVienDeThi.com

⇔

2 2 7 4

1

k k

k

− − + −

+

= 5 ⇔ 5 5k − = 5 . 2 1 k +

⇔ 4k2 – 10k + 4 = 0 ⇔k = 2 hay k = 1 2

Vậy có 2 tiếp tuyến với đường tròn (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) với phương trình là :

k = 2 2x – y – 1 = 0 ⇒

k = 1 2 ⇒1 2 x – y + 5 = 0.

Ví dụ (ĐH KHỐI B-2003)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, n 0 90 BAC = .

Biết M(1,–1) là trung điểm cạnh BC và G( 2 3 ; 0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các

đỉnh A , B, C. G là trọng tâm ΔABC ⇔ = JJJG JJJJG AG 2GM

⇔

⎧ − = − = ⎪⎨ ⎪− = −− = − ⎩

A

A

2 2 2 3

= x 2(1 ) 3 3 y 2( 1 0) 2

⇔ ⎧ ⎨ = ⎩

A

A

x 0

2 ⇔ A (0, 2) y

PT: BC qua M (1, −1) ⊥ = (1, −3): x – 3y – 4 = 0 JJJJG AM PT đ.tròn (C) tâm M, bán kính R = AM= + = 1 9 10 (x – 1)2 + (y + 1)2 = 10

Tọa độ B, C thỏa : − − = ⎧ ⎨ − + + = ⎩ 2 2 x 3y 4 0

(x 1) (y 1) 10

⇔ ⇔ = + ⎧ ⎨ + + + = ⇔ + = ⎩ 2 2 2 x 3y 4

(3y 3) (y 1) 10 (y 1) 1

= ⎧ ⎨= ⎩

x 4

y 0 ∨ = − ⎧ ⎨= − ⎩

x 2

y 2

Vậy B (4, 0); C(−2, −2) hay B(−2, −2); C (4, 0)

Ví dụ (ĐH KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đecac vuông góc Oxy cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 4 và đường thẳng d: x – y – 1 = 0. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm (C) và (C’) Giải (C1) có tâm I (1, 2), R = …