Chuyên đề 10 Hình cầu

Nguồn: thuviendethi.com

Đọc sách

Báo tài liệu không phù hợp

Xem trước nội dung

CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU

TÓM TẮT CÔNG THỨC

(1) Phương trình mặt cầu

1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2

2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là

x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R = 2 2 2 a b c d + + − nếu ta có điều kiện

a2 + b2 + c2 – d > 0

3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là khoảng cách từ I đến (P) bằng bán kính R.

Ví dụ 1:

Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d)

5 4 3 20 3 4 8 0 x y z x y z − + + = ⎧ ⎨ − + − = ⎩

tại hai điểm A và B sao cho AB = 16

Giải

Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc đường thẳng (d). Ta có phương trình tham số đường (d) là

1 2 2 2

x t

y t

z t

= − ⎧ ⎪⎪ = − ⎨ ⎪ = − ⎪⎩

Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là aG = 1 1, , 1 2 ⎛ − ⎜⎝ ⎠ ⎞ ⎟. Vậy phương trình (P) viết

(x – 2) + 1 2 (y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0

Giao điểm K giữa (d) và (P) có tọa độ ( t – 14, 1 2 t – 25 2 , –t )

thỏa phương trình (P). Vậy ta có

1 ThuVienDeThi.com

2(t – 14) + ( 1 2 t – 25 2 ) +2t – 9 = 0

Suy ra t = 11. Vậy ta có K (–3, –7, –11).

Khoảng cách từ I đến (d) là IK = 25 100 100 + + = 15

Do đó bán kính mặt cầu là R =

2 2 4 AB IK + = 225 64 +

Nên phương trình mặt cầu viết là :

(x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289

Ví dụ 2:

Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d)

2 4 7 0 4 5 14 0 x y z x y z + − − = ⎧ ⎨ + + − = ⎩

và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình

(P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0

Giải

Ta có (P) // (Q) nên khi gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P).

Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ

A(2, 1, 1)

2 4 7 0 4 5 14 2 2 2 0

x y z x y z x y z

+ − − = ⎧ ⎪ + + − = ⎨ ⎪ + − − = ⎩

⇒

Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ

B(–4, 5, 5)

2 4 7 0 4 5 14 2 2 4 0

x y z x y z x y z

+ − − = ⎧ ⎪ + + − = ⎨ ⎪ + − + = ⎩

⇒

Vậy tâm mặt cầu là I(–1, 3, 3) và bán kính R = 1

Nên phương trình mặt cầu viết thành

(x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1.

Ví dụ 3 ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P).

Giải

2 ThuVienDeThi.com

Cách 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) nên ta có:

⇔

+ + = − ⎧ ⎪ + = − ⎪⎨ + + + = − ⎪ ⎪+ + = − ⎩

4a 2c d 5

2a d 1

2a 2b 2c d 3 a b c 2

= − ⎧ ⎪= ⎪⎨= − ⎪ ⎪= ⎩

a 1

b 0

c 1 d 1

⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0 Cách 2: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu

Giả thiết cho: 2 2 IA IB IC

I (P)

⎧ = = ⎪⎨∈ ⎪⎩

2 ⇔

⎧ − + + − = − + + ⎪⎪ − + + = − + − + − ⎨ ⎪+ + − = ⎪⎩

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 (x 2) y (z 1) (x 1) y z

(x 1) y z (x 1) (y 1) (z 1) x y z 2 0

⇔ ⇔ ⇒ I (1; 0; 1)

+ − = ⎧ ⎪+ = ⎨ ⎪+ + − = ⎩

2x 2z 4 0 y z 1 x y z 2 0

x 1 y 0 z 1

= ⎧ ⎪= ⎨ ⎪= ⎩ Bán kính R = IB = 1 Suy ra phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường

thẳng d : và mặt cầu ⎩ ⎨ ⎧ = − − + = + − −

0 4 z 2 y 2 x 0 1 z y 2 x 2

(S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 9.

Giải

Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m ĐK : m < 13

(S) có tâm I(−2; 3; 0), R = 13 m − .

Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = 9 2

(IH ⊥ MN)

(d) cho x = 0 ⇒ ⇒ 2y z 1 0 2y 2z 4 0 − − + = ⎧ ⎨ − − = ⎩

y 1 z 1 = ⎧ ⎨ = − ⎩

⇒ A(0; 1; −1)

(d) có ⇒ = 3(2; 1; 2) 1