Chuyên đề Toán - Các dạng toán về số phức

1

CÁC DẠNG TOÁN VỀ SỐ PHỨC

Trong đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và đề thi tốt nghiệp trung học phổ

thông mấy năm gần đây, các bài toán về số phức thường hay xuất hiện với các dạng toán

như tìm phần thực, phần ảo, tìm môđun của số phức, giải phương trình…bài viết này giới

thiệu một số dạng toán cơ bản về số phức.

A. Tóm tắt lí thuyết

* Định nghĩa: Số phức là số có dạng , i là đơn vị ảo, tức là ( , ) z a bi a b R    2 1 i 

a gọi là phần thực của z, kí hiệu . Re a z 

b gọi là phần ảo của z, kí hiệu . b imz 

Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

* Các phép toán trên số phức:

+) Cho . 1 1 1 2 2 2 , z a bi z a b i    

+)    1 2 1 2 1 2 z z a a b b i     

+)    1 2 1 2 1 2 z z a a b b i     

+)   

2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 . . z z a bi a b i a a a b i a bi bb i        1 2 1 2 1 2 2 1 ( ) a a bb a b a b i    

+)    

     

1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) a bi a bi a b i z a a bb a b a b i z a b i a b i a b i a b             

* Mô đun của số phức, số phức liên hợp.

Cho số phức . Khi đó : z a bi  

+) Đại lượng gọi là môđun của z. Kí hiệu 2 2 a b  2 2 z a b  

+) Số phức gọi là số phức liên hợp của z. z a bi  

B. Hệ thống bài tập

I. Các phép toán trên số phức

Ví dụ 1: Cho Tính 1 2 3 , 2 z i z i     1 1 2 z z z 

Lời giải

   1 1 2 3 3 2 10 10 0 z z z i i i i         2 2 1 1 2 10 0 10 z z z     

Ví dụ 2. Tìm số phức z biết (1)    3 2 2 1 z z i i    

Lời giải:

Giả sử z a bi   z a bi   

ThuVienDeThi.com

2

(1) 3 2 2 3 2( ) (2 3.2 3.2 )(1 ) a bi a bi i i i i         

2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 ) a bi a bi i i i i i            

2 3 11 11 2 2 13 9 a bi i i i i        

13 3 13 13 9 3 9 3 9

a a z i b b

               

Ví dụ 3. Cho . Tính ; ; 1 2 2 3 , 1 z i z i    1 2 3 z z  1 2

2

z z z  3 1 2 3 z z 

Lời giải

+) 1 2 3 2 3 3 3 5 6 z z i i i         2 2 1 2 3 5 6 61 z z    

+)    1 2

2 2

3 4 1 3 4 7 1 1 2 i i z z i i z i i            1 2

2

49 1 5 2 4 4 2 z z z    

+) 3 2 3 1 2 3 8 36 54 27 3 3 49 6 z z i i i i i          3 1 2 3 2437 z z  

Ví dụ 4. Tìm số phức z biết:    2 3 3 2 2 (1) z z i i    

Lời giải

Giả sử z=a+bi, ta có:

     2 (1) 3 3 9 12 4 2 5 12 . 2 a bi a bi i i i i i           

. Vậy 2 4 2 10 24 5 12 22 19 a bi i i i i         11 19 ; 12 2 a b     11 19 2 2 z i  

Ví dụ 5. Tìm phần ảo của z biết:    3 3 2 2 (1) z z i i    

Lời giải

Giả sử z=a+bi

     2 3 (1) 3 3 8 12 6 2 2 11 . 2 a bi a bi i i i i i i            

. 2 4 2 4 2 22 11 20 15 a bi i i i i         15; 10 4 a b   

Vậy phần ảo của z bằng -10

Ví dụ 6. Tìm môđun của z biết  

2 (1 2) 1 2 (1) 2 i i z z i     

Lời giải

(1) 2 2 a bi a bi        2 2 (1 2) 1 2 2 2 2 2 2

i i i i i i i

      

ThuVienDeThi.com