Toán học 12 - Chuyên đề Phương pháp tọa độ trong không gian

Trắc nghiệm Hệ Toạ Độ Trong Không Gian

1

CHUYÊN ĐỀ: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

PHẦN 1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian

Cho ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một điểm gốc O. Gọi i j k , , 

là: các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz. Hệ ba trục như vậy gọi là: hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz hoặc đơn giản là: hệ tọa độ Oxyz.

Chú ý

2 2 2 1 i j k      

và 0 i j i k k j . . .      

. 2. Tọa độ của vectơ

a) Định nghĩa   u x y z u xi y j zk ; ;          

b) Tính chất Cho 1 2 3 1 2 3 a a a a b b b b k R ( ; ; ), ( ; ; ),     

 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b ( ; ; )       

 1 2 3 ka ( ; ; )  



1 1

2 2

3 3

a b a b a b a b

         

 

 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 i j k ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )        

 a



cùng phương 0 b b ( )    

 a kb k R ( )    

1 1 3 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 3 3

0 a kb a a a a kb b b b b b b a kb

, ( , , )             

 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b . . . .       1 1 2 2 3 3 0 a b a b a b a b       

 2 2 2 2 1 2 3 a a a a      2 2 2 1 2 2 a a a a    

 1 1 2 2 3 3

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3

a b a b a b a b a b

a b a a a b b b

. cos( , )

. .

   

   

      (với 0 a b , 

   )

3. Tọa độ của điểm

a) Định nghĩa M x y z OM x y z ( ; ; ) ( ; ; )   

(x hoành độ, y tung độ, z cao độ) Chú ý  M  (Oxy)  M(x; y; 0); M  (Oyz)  M(0; y; z); M  (Oxz)  M(x; 0; z)  M  Ox  M(x; 0; 0) ; M  Oy  M(0; y; 0); M  Oz  M(0; 0; z) b) Tính chất Cho A A A B B B A x y z B x y z ( ; ; ), ( ; ; )

 B A B A B A AB x x y y z z ( ; ; )     

 2 2 2 B A B A B A AB x x y y z z ( ) ( ) ( )      

 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1)

1 1 1

A B A B A B x kx y ky z kz M

k k k ; ;            

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB 2 2 2

A B A B A B x x y y z z M ; ;         

 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC 3 3 3

A B C A B C A B C x x x y y y z z z G ; ;            

 Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD 4 4 4

A B C D A B C D A B C C x x x x y y y y z z z z G ; ;                4. Tích có hướng của hai vectơ (Chương trình nâng cao)

a) Định nghĩa Cho 1 2 3 a a a a ( , , )  

, 1 2 3 b b b b ( , , )  

.

ThuVienDeThi.com

Trắc nghiệm Hệ Toạ Độ Trong Không Gian

2

    2 3 3 1 1 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 2 3 3 1 1 2

a a a a a a a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b , ; ; ; ;             

   

Chú ý Tích có hướng của hai vectơ là: một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là: một số. b) Tính chất

   i j k j k i k i j , ; , ; ,                  

 a b a a b b [ , ] ; [ , ]      

   a b a b a b [ , ] . .sin ,        a b , 

cùng phương 0 a b [ , ]    

c) Ứng dụng của tích có hướng

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a b , 

và c



đồng phẳng  0 a b c [ , ].  

 Diện tích hình bình hành ABCD ABCD S AB AD ,     A



 Diện tích tam giác ABC 1 2 ABC S AB AC ,       

 Thể tích khối hộp ABCD.ABCD ABCD A B C D V AB AD AA . ' ' ' ' [ , ]. ' 



 Thể tích tứ diện ABCD 1 6 ABCD V AB AC AD [ , ]. 



Chú ý – Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính góc giữa hai đường thẳng.

– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các vectơ cùng phương.

   

0

0

0

a b a b a vaø b cuøng phöông a b a b c ñoàng phaúng a b c

.

, , , , .

  

   

   

          

– Tính chất hình học của các điểm đặc biệt

 A, B, C thẳng hàng  AB AC , 

cùng phương  AB k AC   

 0 AB AC ,      

 ABCD là: hình bình hành  AB DC   

 Cho …