Toán học - Chuyên đề nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Biên soạn: Nguyễn Văn Tuyến - Giáo viên trường THPT Hải An SĐT: 0983667689

Chuên đề: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§1. Nguyên hàm

I–KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1. Bảng đạo hàm và nguyên hàm: d[u(x)] u’(x)dx

Hàm số NH của hàm số đơn giản NH của hàm số hợp Ghi chú

  dx x C   du u C  1  x Lũy thừa 1

1

 



    

x x dx C

1

1

 



    

u u du C 1 ( )      x x

  

dx ln x C x   

du ln u C u

1 ( ) ln x x   

x x e dx e C   

u u e du e C ( ) x x e e Mũ Lôgarít

  

x x a a dx C lna   

u u a a du C lna ( ) ln  x x a a a

  cosxdx si nx C   cosudu si nu C ( ) si nx cosx

  si nxdx cosx C   si nudu cosu C   cosx si nx

2   

dx tanx C cos x 2   

du tanu C cos u   2 1  tanx

cos x

2   

dx cotx C si n x 2   

du cotu C si n u   2 1  cotx

sin x   cotxdx ln sinx C   cotudu ln sinu C   ln sinx cotx

Lượng giác

  tanxdx ln cosx C   tanudu ln cosu C   ln cosx tanx

2   

dx x C x 2   

du u C u

1 ( ) 2  x x

1 1

    

n n n n xdx x C n

1 1

    

n n n n udu u C n

1 1 ( )    n n n n x x n

2 2      

dx ln x x a C x a

2 2      

du ln u u a C u a

2

2

1            ln x x a

x a

Căn thức

2 2    

dx x ar csin C a a x 2 2    

du u ar csin C a a u 2 2             x asint t

2

1   

dx C x x 2

1   

du C u u 2 1 1        x x

1 1 ( 1)       n n dx C x n x 1 1 ( 1)       n n du C u n u 1 1 1 ( 1) 

        n n n x x

2 2

1 2

     

dx x a ln C a x a x a 2 2

1 2

     

du u a ln C a u a u a

1 1            

x a ln

x a x a x a

Phân thức hữu tỷ

2 2

1    

dx x ar ctan C a a x a 2 2

1    

du x ar ctan C a a u a 2 2             x atant t

ThuVienDeThi.com

Biên soạn: Nguyễn Văn Tuyến - Giáo viên trường THPT Hải An SĐT: 0983667689

2. Định nghĩa: / ( ) ( ) ( ) ( )     f x dx F x C F x f x

3. Tính chất: / 1) ( ) ( )  f x dx f x

2) ( ) ( )    kf x dx k f x dx

  3) ( ) ( ) ( ) ( )       f x g x dx f x dx g x dx

II - PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp đưa về nguyên hàm của hàm số hợp: Tính ( )  I f x dx

 Biến đổi   [ ( )] ( )  I g u x d u x

 Áp dụng tính chất: Nếu thì ( ) ( )   g x dx G x C

VD1: Tình các nguyên hàm sau 4 sin 2 .cos I x x dx 

2 tan 1 cos2

x J dx x   

VD2: Tình các nguyên hàm sau 4 7 I x x dx   

1 J dx x x 

 

VD3: Tình các nguyên hàm sau

x e x I e dx   cot ln(sin ) J x x dx 

2. Phương pháp đặt ẩn phụ: Tính ( )  I f x dx

 Đặt t  u(x) biến đổi ( )  I g t dt

 Áp dụng tính chất: Nếu thì ( ) ( )   g x dx G x C ( ) ( )   g t dt G t C

VD1: Tình các nguyên hàm sau 3 4 6 1 cos .sin2 .cos I x x x dx   

VD2: Tình các nguyên hàm sau

5 3

2 2

1

x x I dx x

 

 

3

4 3 1 1

x J dx x 

  

VD3: Tình các nguyên hàm sau

2

1

x

x e I dx e 

 

2

(8 ) 1

x

x x e J dx e e 

  

3. Phương pháp nguyên hàm từng phần

P.Pháp: Tính ( ). ( )   I u x v x dx

 Đặt ( ) ( ) ( ) ( )

             

u u x du u x dx dv v x dx v v x

 Khi đó:      I u dv uv vdu

Chú ý: ( ). ( ) ( ) [ ( )] ( ). ( ) ( ) [u( )]        u x v x dx u x d v x u x v x v x d x

VD1: Tình các nguyên hàm sau sin 2 x I e x dx  (2 3)cos J x x dx   

VD2: Tình các nguyên hàm sau ln( 2) I x x dx   

2 ln 2 J x dx 

ThuVienDeThi.com