Các bài toán liên quan đến hàm số - Chuyên đề 1 Sự biến thiên của hàm số

1

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

A. Kiến thức cơ bản

Giả sử hàm số có tập xác định D. y f x ( ) 

 Hàm số f đồng biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc y x D 0,   y 0 

D.

 Hàm số f nghịch biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc y x D 0,   y 0 

D.

 Nếu thì: y ax bx c a 2 ' ( 0)    

+ + a y x R 0 ' 0, 0       

a y x R 0 ' 0, 0       

 Định lí về dấu của tam thức bậc hai : g x ax bx c a 2 ( ) ( 0)    

+ Nếu  < 0 thì luôn cùng dấu với a. g x ( )

+ Nếu  = 0 thì luôn cùng dấu với a (trừ ) g x ( ) b x a 2 

+ Nếu  > 0 thì có hai nghiệm và trong khoảng hai nghiệm thì khác dấu với a, g x ( ) x x 1 2 , g x ( )

ngoài khoảng hai nghiệm thì cùng dấu với a. g x ( )

 So sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0: x x 1 2 , g x ax bx c 2 ( )   

+ + + x x P S 1 2

0 0 0 0

          

x x P S 1 2

0 0 0 0

          

x x P 1 2 0 0    

 ; a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) max ( )    

a b g x m x a b g x m ( ; ) ( ) , ( ; ) min ( )    

B. Một số dạng câu hỏi thường gặp

1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác y f x ( ) 

định).

 Hàm số f đồng biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc y x D 0,   y 0 

D.

 Hàm số f nghịch biến trên D  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc y x D 0,   y 0 

D.

 Nếu thì: y ax bx c a 2 ' ( 0)    

+ + a y x R 0 ' 0, 0       

a y x R 0 ' 0, 0       

2. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng . y f x ax bx cx d 3 2 ( )      ( ; ) a b

Ta có: . y f x ax bx c 2 ( ) 3 2      

ThuVienDeThi.com

2

a) Hàm số f đồng biến trên  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn ( ; ) a b y x 0, ( ; )  a b y 0 

điểm thuộc . ( ; ) a b

Trường hợp 1:

 Nếu bất phương trình (*) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

thì f đồng biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) max ( ) 

a b

 Nếu bất phương trình (**) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

thì f đồng biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) min ( ) 

a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình không đưa được về dạng (*) thì đặt . Khi f x ( ) 0   t x  a

đó ta có: . y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2          

– Hàm số f đồng biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

            

– Hàm số f đồng biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

            

b) Hàm số f nghịch biến trên  và chỉ xảy ra tại một số hữu hạn ( ; ) a b y x 0, ( ; )  a b y 0 

điểm thuộc . ( ; ) a b

Trường hợp 1:

 Nếu bất phương trình (*) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

thì f nghịch biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) max ( ) 

a b

 Nếu bất phương trình (**) f x h m g x ( ) 0 ( ) ( )    

thì f nghịch biến trên  ( ; ) a b h m g x ( ; ) ( ) min ( ) 

a b

Trường hợp 2: Nếu bất phương trình không đưa được về dạng (*) thì đặt . Khi f x ( ) 0   t x  a

đó ta có: . y g t at a b t a b c 2 2 ( ) 3 2(3 ) 3 2          

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

            

– Hàm số f nghịch biến trên khoảng   a ( ; )  g t t ( ) 0, 0  

a a

S P

0 0 0 0 0

0

 

            

3. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k y f x ax bx cx d 3 2 ( )     

cho trước.

ThuVienDeThi.com