Toán học 12 - Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân

Giải tích 12 Chương 3

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN I. LÝ THUYẾT

1) Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp.

F’(x) Nguyên hàm 0 C

𝑥𝛼 𝑥∝+ 1

∝+ 1 + 𝐶, ∝≠‒ 1

1 𝑥 ln |𝑥| + 𝐶

𝑒𝑥 𝑒𝑥+ 𝐶

𝑎𝑥 𝑎𝑥

ln 𝑎+ 𝐶

1

𝑥2 ‒

1 𝑥+ 𝐶

cos 𝑥 sin 𝑥+ 𝐶 sin 𝑥 ‒ cos 𝑥+ 𝐶 1

cos2 𝑥 tan 𝑥+ 𝐶

1

sin2 𝑥 ‒ cot 𝑥+ 𝐶

𝑢∝ 𝑢∝

𝑢'( ∝+ 1) + 𝐶

1 𝑢

ln |𝑢|

𝑢' + 𝐶

𝑒𝑢 𝑒𝑢

𝑢' + 𝐶

𝑎𝑢 𝑎𝑢

𝑢'(ln 𝑎) + 𝐶

1

𝑢2 ‒

1

𝑢'.𝑢

+ 𝐶

cos 𝑢

sin 𝑢

𝑢' + 𝐶

sin 𝑢 ‒

cos 𝑢

𝑢' + 𝐶

Lưu ý: Hàm số u thường là u=f(x)=ax+b và u’=a

2) Phương pháp đổi biến số Đặt u=f(x)  u’.du=f’(x).dx Đưa tích phân ban đầu về một tích phân mới với biến u.

ThuVienDeThi.com

Giải tích 12 Chương 3

Trang 2

Hệ quả: ∫𝑓(𝑎𝑥+ 𝑏)𝑑𝑥=

1 𝑎𝐹(𝑎𝑥+ 𝑏) + 𝐶 , 𝑣ớ𝑖 𝑎≠0

Lưu ý: Đặt u thường là các hàm có dấu căn, lượng giác, lnx, hàm mũ,..

3) Phương pháp nguyên hàm / tích phân từng phần

∫𝑢𝑑𝑣= 𝑢𝑣‒∫𝑣𝑑𝑢

𝑏 ∫

𝑎

𝑢𝑑𝑣= 𝑢𝑣|

𝑎 𝑏‒

𝑏 ∫

𝑎

𝑣𝑑𝑢

Lưu ý:

a. Nhận biết: khi đặt ẩn ta không thể biến đồi các biểu thức về cùng ẩn vừa đặt b. Thường ưu tiên đặt u là các hàm lnx, hàm đa thức (x, 1-x, 4x+3,..) c. Thường ưu tiên đặt dv là các hàm sin, cos, ex, hàm mũ… d. Đối với các hàm lượng giác có số mũ từ 2 trở lên thì dùng Công thức hạ bậc:

sin2 𝑥=

1 ‒ 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2 ;cos2 𝑥=

1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥

2

sin3 𝑥=

3𝑠𝑖𝑛𝑥‒ 𝑠𝑖𝑛3𝑥

4 ;cos3 𝑥=

𝑐𝑜𝑠3𝑥+ 3𝑐𝑜𝑠𝑥

4 4) Các tính chất của tích phân.

𝑎)

𝑏 ∫

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 𝐹(𝑥)|

𝑏 𝑎= 𝐹(𝑏) ‒ 𝐹(𝑎)

𝑏)

𝑏 ∫

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥=‒

𝑎 ∫

𝑏

𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐)

𝑐 ∫

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥+∫

𝑏

𝑐

𝑓(𝑥)𝑑𝑥=

𝑏 ∫

𝑎

𝑓(𝑥)𝑑𝑥, 𝑣ớ𝑖 𝑎< 𝑐< 𝑏

II. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:

1)∫(3𝑥+ 𝑒1 ‒ 2𝑥)𝑑𝑥

2)∫

1 (1 + 𝑥)(1 ‒ 2𝑥)𝑑𝑥

3)∫sin 3𝑥cos 5𝑥𝑑𝑥

4)∫(1 ‒ 𝑥)4𝑑𝑥

5)∫𝑥2

3 1 + 𝑥3𝑑𝑥 𝑣ớ𝑖 𝑥>‒ 1

6)∫𝑥𝑒‒ 𝑥2

𝑑𝑥

7)∫

𝑥

(1 + 𝑥2)2𝑑𝑥

8)∫

1

(1 ‒ 𝑥) 𝑥𝑑𝑥

9)∫

(𝑙𝑛𝑥)2

𝑥 𝑑𝑥

10)∫

𝑠𝑖𝑛𝑥

3 cos2 𝑥

𝑑𝑥

11)∫

1

𝑒𝑥‒ 𝑒‒ 𝑥𝑑𝑥

12)∫𝑥(3 ‒ 𝑥)5𝑑𝑥

13)∫𝑥2 ‒ 5𝑥𝑑𝑥

14)∫𝑥𝑙𝑛(1 + 𝑥)𝑑𝑥

15)∫(1 ‒ 2𝑥)𝑒𝑥𝑑𝑥

16)∫(𝑥2 + 2𝑥‒ 1)𝑒𝑥𝑑𝑥

ThuVienDeThi.com

Giải tích 12 Chương 3

Trang 3

17)∫(1 ‒ 𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥

18)∫𝑥𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥

19)∫𝑥ln2 𝑥𝑑𝑥

20)∫𝑥𝑙𝑛

𝑥‒ 1 𝑥+ 1 𝑑𝑥

21)∫

ln (cos 𝑥)

cos2 𝑥

𝑑𝑥

22)∫

𝑥

sin2 𝑥

𝑑𝑥

23)∫(𝑥+ 𝑙𝑛𝑥)𝑥2𝑑𝑥

24)∫(𝑥+ 𝑒𝑥)𝑒2𝑥𝑑𝑥

25)∫(𝑥+ sin2 𝑥)sin 𝑥𝑑𝑥

26)∫

𝑒𝑥cos 𝑥+ (𝑒𝑥+ 1)sin 𝑥

𝑒𝑥sin 𝑥

𝑑𝑥

27)∫(𝑥+ sin 𝑥)

𝑑𝑥

cos2 𝑥

28)∫(2𝑥‒ 3) 𝑥‒ 3𝑑𝑥

Bài 2. Tính các tích phân sau:

1)

2 ∫

0

1

𝑥2 ‒ 2𝑥‒ 3

𝑑𝑥

2)

2 ∫

0

𝑥(𝑥+ 1)2𝑑𝑥

3)

2 ∫

1

1 ‒ 3𝑥

(𝑥+ 1)2𝑑𝑥

4)

𝜋 2 ∫

‒

𝜋 2

sin 𝑥cos 5𝑥𝑑𝑥

5)

2 ∫

0

|1 ‒ 𝑥|𝑑𝑥

6)

𝜋 2 ∫

0

sin2 𝑥𝑑𝑥

7)

𝑙𝑛2 ∫

0

𝑒2𝑥+ 1 + 1

𝑒𝑥 𝑑𝑥

8)

3 ∫

0

𝑥2

(1 + 𝑥)

3 2

𝑑𝑥

9)

1 ∫

0

1 ‒ 𝑥2𝑑𝑥

10)

1 ∫

0

1

1 + 𝑥2𝑑𝑥

11)

1 ∫

0

𝑒𝑥(1 + 𝑥)

1 + 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥

12)

𝑎 2 ∫

0

1

𝑎2 ‒ 𝑥2𝑑𝑥, 𝑣ớ𝑖 𝑎> 0

13)

𝑎 ∫

0

1

𝑎2 + 𝑥2𝑑𝑥, 𝑣ớ𝑖 𝑎> 0

14)

9 ∫

1

𝑥

3 1 ‒ 𝑥𝑑𝑥

15)

4 ∫

0

4𝑥‒ 1

2𝑥+ 1 + 2

𝑑𝑥

16)

1 ∫

‒ 1

𝑥2(1 ‒ 𝑥3)4𝑑𝑥

17)

1 ∫

0

ln (1 + 𝑥)𝑑𝑥

18)

𝜋 2 ∫

0

(𝑥+ 1)sin 𝑥𝑑𝑥

19)

𝑒 ∫

1

𝑥2ln 𝑥𝑑𝑥

ThuVienDeThi.com

Giải tích 12 Chương 3

Trang 4

20)

ln 2 ∫

0

𝑥𝑒‒ 2𝑥𝑑𝑥

21)

3 ∫

2

[ln (𝑥‒ 1) ‒ ln (𝑥+ 1)]𝑑𝑥

22)

2 ∫

1 2

(1 + 𝑥+

1 𝑥)𝑒

𝑥+

1 𝑥𝑑𝑥

23)

𝜋 2 ∫

0

𝑥cos 𝑥sin2 𝑥𝑑𝑥

24)

1 ∫

0

𝑥𝑒𝑥

(1 + 𝑥)2𝑑𝑥

25)

𝑒 ∫

1

1 + 𝑥ln 𝑥

𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥

26)

𝜋 2 ∫

0

1

(sin 𝑥+ 2cos 𝑥)2𝑑𝑥

27)

𝜋 ∫

0

(𝑥+ sin 𝑥)2𝑑𝑥

28)

𝑒 ∫

1

4 + 5ln 𝑥

𝑥 𝑑𝑥

29)

1 ∫

0

𝑥+ 2

𝑥2 + 2𝑥+ 1

ln (𝑥+ 1)𝑑𝑥

30)

𝜋 ∫

0

𝑥sin 𝑥+ (𝑥+ 1)cos 𝑥

𝑥sin 𝑥+ cos 𝑥 𝑑𝑥

31)

𝜋 2 ∫

0

sin 3𝑥 2cos 3𝑥+ 1𝑑𝑥

32)

2 ∫

1

ln 𝑥

𝑥𝑑𝑥

33)

𝜋 ∫

0

sin 2𝑥

cos2 𝑥+ 4sin2 𝑥

𝑑𝑥

34)

1 ∫

0

2𝑥‒ 1

𝑥2 + 𝑥+ 1

𝑑𝑥

35)

𝜋2

9 ∫

0

sin 𝑥𝑑𝑥

36)

𝑒

7 3 ∫

1

𝑑𝑥

𝑥

3 1 + 3𝑙𝑛𝑥

37)

𝜋 2 ∫

𝜋 3

sin 𝑥 cos 2𝑥‒ cos 𝑥𝑑𝑥

38)

𝜋 2 ∫

0

(cos3 𝑥‒ 1)cos2 𝑥𝑑𝑥

39)

3 ∫

1

3 + ln 𝑥

(𝑥+ 1)2𝑑𝑥

40)

𝑒 ∫

1

ln 𝑥 𝑥(2 + ln 𝑥)^2𝑑𝑥

41)

𝜋 2 ∫

0

sin 2𝑥+ sin 𝑥

1 + 3cos 𝑥𝑑𝑥

42)

2 2

∫

3

𝑑𝑥

𝑥𝑥2 + 1

43)

𝜋 4 ∫

0

1 ‒ 2sin2 𝑥

1 + sin 2𝑥𝑑𝑥

44)

2 ∫

1

𝑥

1 + 1 ‒ 𝑥𝑑𝑥

45)

3 ∫

2

ln (𝑥2 ‒ 𝑥)𝑑𝑥

ThuVienDeThi.com