Toán học - Chuyên đề 1 Tính đơn điệu của hàm số

TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam

LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2

CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I.Kiến thức cơ bản: 1. Định lý:

) ( 0 ) ( * / x f D x x f     đồng biến trên D.

) ( 0 ) ( * / x f D x x f     nghịch biến trên D. 2. Định lý mở rộng:

D x x f   0 ) ( * / và 0 ) ( /  x f tại một số hữu hạn điểm ) (x f  đồng biến trên D.

D x x f   0 ) ( * / và 0 ) ( /  x f tại một số hữu hạn điểm ) (x f  nghịch biến trên D. 3. Chú ý:

  b a x x f ; 0 ) ( * /    và f(x) liên tục trên   b a; ) (x f  đồng biến trên   b a; .   b a x x f ; 0 ) ( * /    và f(x) liên tục trên   b a; ) (x f  nghịch biến trên   b a; . 4. Điều kiện không đổi dấu trên R: Cho ) 0 ( ) ( 2     a c bx ax x f .

  

 

     0 0 0 ) ( * a R x x f

  

 

     0 0 0 ) ( * a R x x f

  

 

     0 0 0 ) ( * a R x x f

  

 

     0 0 0 ) ( * a R x x f

II. Các dạng toán: 1. Tìm điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn cho trước: Phương pháp: * Tính y/ . * Cho y/ = 0. Có các cách sau Cách 1. ( Nếu ta tìm được nghiệm của y/ ) + Lập bảng biến thiên. + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Cách 2. ( Nếu ta rút ra được y/ = 0 về dạng g(x) = h(m)) + Xét sự biến thiên của g(x). + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán. Cách 3. ( Không làm được như hai cách trên ) + Lập bảng biến thiên dưới dạng tổng quát. + Dựa vào bảng biến thiên để xác định điều kiện bài toán.

Ví dụ 1. Cho hàm số     3 2 1 1 2 1 6 3 y x m x m x      

a. Xác định m để hàm số đồng biến trên R. b. Xác định m để hàm số đồng biến trên     ;2 c. Xác định m để hàm số nghịch biến trên  1 ;3  Giải:

ThuVienDeThi.com

TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam

LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2

a. Tập xác định: D = R.   1 2 1 2 2 /      m x m x y

Hàm số đồng biến trên R

  

 

     

0

0 0 / / a R x y 0 0 0

0 1

2     

     



  m m

R m

m

b. Tập xác định: D = R.   1 2 1 2 2 /      m x m x y

  / 2 1 0 2 1 2 1 0 2 1 x y x m x m x m           

* Trường hợp 1: 2 1 1 0 m m   . Ta có bảng biến thiên: x   1   y/ + 0 +  

y   3

1

Suy ra hàm số đồng biến trên R nên đồng biến trên     ;2 . Do đó m = 0 thỏa mãn. * Trường hợp 2 : 0 1 1 2     m m . Ta có bảng biến thiên: x   1 2m+1   y/ + 0 - 0 + y(1)   y   y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên     ;2

2 1 2 1 2      m m ( thỏa đk m>0)

* Trường hợp 3 : 0 1 1 2     m m . Ta có bảng biến thiên: x   2m+1 1   y/ + 0 - 0 + y(2m+1)   y   y(1)

ThuVienDeThi.com

TAILIEUEA.COM Giáo Viên: Nguyễn Anh Tuấn – Trường THPT Nguyễn Thái Bình – Quảng Nam

LTĐH - Chuyên Đề Khảo Sát Hàm Số 2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số đồng biến trên     ;2

Vậy hàm số đồng biến trên     ;2 khi m = 0 hoặc

2 1  m

c. Tập xác định: D = R.   1 2 1 2 2 /      m x m x y

  



           1 2 1 0 1 2 1 2 0 2 /

m x x m x m x y

* Trường hợp 1: 0 1 1 2     m m . Ta có bảng biến thiên: x   1   y/ + 0 +  

y   3

1

Suy ra hàm số đồng biến trên R nên không nghịch biến trên  1;3  Do đó m = 0 không thỏa mãn. * Trường hợp 2 : 0 1 1 2     m m . Ta có bảng biến thiên: x   1 2m+1   y/ + 0 - 0 + y(1)   y   y(2m+1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy không có giá trị nào của m để hàm số nghịch biến trên  1;3  * Trường hợp 3 : 0 1 1 2     m m . Ta có bảng biến thiên: x   2m+1 1   y/ + 0 - 0 + y(2m+1)   y   y(1) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên

 1;3  2 3 1 2        m m ( Thỏa mãn điều kiện m <0 ) Vậy 2   m hàm số nghịch biến trên  1;3 

ThuVienDeThi.com