Toán học 12 - Chuyên đề Nguyên hàm tích phân

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B - DĐ: 01655455881- 0975851198 1

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

Phần 1. Tìm nguyên hàm

Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm .

Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số

a. b. c. d. 2 ( 2)( 2 4) x x x dx    

3 1 ( ) x dx x

 

2 sin xdx  sin 2 .cos x xdx 

e. f. g. h. 2 10 .3 .5 x x xdx 

2 2

3 2 1 3 ( )( ) x x dx x

  

3

5 2 1 x x dx x    2 1 sin( ) x dx  

m. n. o. p. 2 10 1 2 ( ) x xdx  

1 ln x dx x  

2 x xe dx  4 1 2 ( ) dx

x  

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.

Tính tích phân ( ) I f x dx 

Phương pháp 1. Đổi biến , rút x theo t. ( ) t x  

+) Xác định vi phân: '( ) dx t dt  

+) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử . Khi đó ( ) ( ) f x dx g t dt  ( ) I g t dt 

Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ:

Dấu hiệu Có thể chọn

Hàm số có mẫu Đặt t là mẫu

Hàm ( , ( )) f x x  Đặt ( ) t x  

Hàm ( , ( ), ( )) n m f x x x   Đặt ( ) mn t x  

Hàm sin cos ( ) sin cos a x b x f x c x d x e     Đặt tan 2

x t 

Hàm lẻ với sinx Đặt cos t x 

Hàm lẻ với cosx Đặt sinx t 

Hàm chẵn với sinx và cosx t =tanx

Phương pháp 2. Đổi biến ( ) x t  

+) Lấy vi phân '( ) dx t dt  

+) Biểu thị f(x) theo t và dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt. Khi đó ( ) I g t dt 

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B - DĐ: 01655455881- 0975851198 2

Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ:

Dấu hiệu Có thể chọn

2 2 a x  | | sin , 2 2 | | ,0 os

x a t t

x a c t t

 



      

2 2 x a  | | , ; 0 sin 2 2 | | ,0 ; 2 os

a x t t t a x t t c t

 

 

         

; 2 2 x a  2 2 dx x a   | | tan , 2 2 | | ,0 ot

x a t t

x a c t t

 



      

hoặc a x a x  

a x a x  

Đặt cos2 x a t 

( )( ) x a b x   Đặt 2 ( )sin x a b a t   

Bài 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số

a. b. c. d. e. 3 (2 1) x dx   3 2 2

5

z dz z  

2 2 ( 1) x x dx   sin(7 6) x dx  

2 1 x xe dx  

f. g. h. k. l. 2

2

4 3 x dx x x   

2012 sin .cos x xdx 

1 1 x dx e   2

2 1

2012

x dx x x



  

2

3 9

1

x dx x  

m. n. o. p. q. 2 4 1 x x dx   2 1 (1 )

dx x x   2

1 cos (5 2) dx x   2 1 1 1 sin . os c dx x x x 

4 sin .cos x xdx 

r. s. t. u. v. 2 sin(3 1) (3 1) os

x dx c x



  4 2 2 2 xdx x x    2 4 5 xdx x x   

3

4 2 2 x dx x x   

2

39 (1 ) x dx x  

Dạng 3. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

Bài 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số.

a. b. c. d. x xe dx 

2 cos x xdx  ( 1).ln x xdx  

2 ln x xdx 

e. f. g.

2

2 ln( 1)

1

x x x dx x

 

 

2 .cos xe xdx  2 os

x dx c x 

Dạng 4. Nguyên hàm của một số hàm phân thức hữu tỷ.

Bài 4. Tìm nguyên hàm

a. b. c. d. e. 2 3 dx x  

4 3 2 1 x dx x



  2 2 1 ( ) dx x  

2 2 3 5 3 x x dx x

    2

2 1 5 6 x dx x x    

ThuVienDeThi.com

Chuyên đề: Nguyên hàm – Tích phân

GV : Lê Xuân Toàn -Trường THPT Chương mỹ B - DĐ: 01655455881- 0975851198 3

f. g. h. h. 2

4 6 3 4 x dx x x    

2

2

3 1 5 6 x x dx x x      2

4 2

1 x dx x x    

3 2

2 3 14 13 7 5 6 x x x dx x x      

i. k. l.

3

2

2 1 9 x x dx x

   

2

3

1 1 ( ) x x dx x

    2 2

3 xdx x  

Dạng 5. Nguyên hàm của một số hàm số lượng giác.

Các bài toán cơ bản:

a) Nguyên hàm của các hàm số có dạng:

2 2 ( ) cos .cos ( ) sin .sin

( ) sin .cos ( ) sin ; os

f x ax bx f x ax bx

f x ax bx f x ax c bx

   

   

Phương pháp chung: Dùng các công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa về tổng các nguyên hàm cơ bản.

Bài 5. Tìm các nguyên hàm:

a. b. c. os3 .cos2 c x xdx 

2 sin . os 2 x c xdx 

32 .sin 2 os c x xdx 

b) Nguyên hàm của các hàm số có dạng: ( ) sin . os n m f x x c x 

Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ của m, n để biến đổi hoặc đặt ẩn phụ cho phù hợp.

Bài 6. Tìm nguyên hàm

a. b. c. d. 3 3 (sin 2 ) os x c x dx  

5 5 (sin ) os x c x …