Chuyên đề Giải tích Lớp 12 Nguyên hàm và tích phân

Trần Sĩ Tùng Tích phân

Trang 1

Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân 1. Các giới hạn đặc biệt:

a)

→ = x 0

sinx lim 1 x

Hệ quả:

→ = x 0

x lim 1 sinx

→ = u(x) 0

sinu(x) lim 1 u(x)

→ = u(x) 0

u(x) lim 1 sinu(x)

b)

x

x 1 lim 1 e, x R x →∞   + = ∈    

Hệ quả:

1 x

x 0 lim(1 x) e. → + =

x 0

ln(1 x) lim 1 x →

+ =

x

x 0 e 1 lim 1 x → − =

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả: (c)’ = 0 (c là hằng số)

1 (x )' x α α− = α 1 (u )' u u' α α− = α

2 1 1 ' x x  = −     2 1 u' ' u u  = −    

( ) 1 x '

2 x = ( ) u' u '

2 u =

x x (e )' e = u u (e )' u'.e =

x x (a )' a .lna = u u (a )' a .lna . u' =

1 (ln x )' x = u' (ln u )' u =

a

1 (log x ') x.lna = a

u' (log u )' u.lna =

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu

2 2 1 (tgx)' 1 tg x cos x = = +

2 2 u' (tgu)' (1 tg u).u' cos u = = +

2 2 1 (cotgx)' (1 cotg x) sin x

− = = − +

2 2 u' (cotgu)' (1 cotg u).u' sin u

− = = − +

3. Vi phân: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a ; b) và có đạo hàm tại x (a; b) ∈ . Cho số

gia ∆x tại x sao cho x x (a; b) + ∆∈ . Ta gọi tích y’.∆x (hoặc f’(x).∆x) là vi phân của

hàm số y = f(x) tại x, ký hiệu là dy (hoặc df(x)). dy = y’.∆x (hoặc df(x) = f’(x).∆x Áp dụng định nghĩa trên vào hàm số y = x, thì dx = (x)’∆x = 1.∆x = ∆x Vì vậy ta có: dy = y’dx (hoặc df(x) = f’(x)dx)

ThuVienDeThi.com

Tích phân Trần Sĩ Tùng

Trang 2

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa:

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) nếu mọi x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x).

Nếu thay cho khoảng (a ; b) là đoạn [a ; b] thì phải có thêm:

F'(a ) f(x) và F'(b ) f(b) + − = =

2. Định lý:

Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :

a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng đó.

b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.

Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là f(x)dx. ∫ Do

đó viết:

f(x)dx F(x) C = + ∫

Bổ đề: Nếu F′(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

3. Các tính chất của nguyên hàm:

• ( ) f(x)dx ' f(x) = ∫

• af(x)dx a f(x)dx (a 0) = ≠ ∫ ∫

• [ ] f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx + = + ∫ ∫ ∫

• [ ] [ ] f(t)dt F(t) C f u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x)) = + ⇒ = + = + = ∫ ∫

4. Sự tồn tại nguyên hàm:

• Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.

§Bài 1: NGUYÊN HÀM

ThuVienDeThi.com

Trần Sĩ Tùng Tích phân

Trang 3

BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của các hàm số hợp (dưới đây u = u(x))

dx x C = + ∫ du u C = + ∫

1 x x dx C ( 1) 1

α+ α = + α ≠− α + ∫

1 u u du C ( 1) 1

α+ α = + α ≠− α + ∫

dx ln x C (x 0) x = + ≠ ∫ du ln u C (u u(x) 0) u = + = ≠ ∫

x x e dx e C = + ∫ u u e du e C = + ∫

x x a a dx C (0 a 1) lna = + < ≠ ∫

u u a a du C (0 a 1) lna = + < ≠ ∫

cosxdx sinx C = + ∫ cosudu sin u C = + ∫

sinxdx cosx C = − + ∫ sin udu cosu C = − + ∫

2 2 dx (1 tg x)dx tgx C cos x = + = + ∫ ∫

2 2 du (1 tg u)du tgu C cos u = + = + ∫ ∫

2 2 dx (1 cotg x)dx cotgx C sin x = + = − + ∫ ∫

2 2 du (1 cotg u)du cotgu C sin u = + = − + ∫ ∫

dx x C (x 0) 2 x

= + > ∫ du u C (u 0) 2 u

= + > ∫

1 cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0) a + = + + ≠ ∫

1 sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0) a + = − + + ≠ ∫

dx 1 ln ax b C ax b a = + + + ∫

ax b ax b 1 e dx e C (a 0) a

+ + = + ≠ ∫

dx 2 ax b C (a 0) a ax b

= + + ≠ + ∫

ThuVienDeThi.com