Chuyên đề Giải tích Lớp 12 - Chủ đề 2 Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Năm học 2008-2009 Trang 1/4

CHỦ ĐỀ 2 : HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT A.Giáo khoa : 1.Lũy thừa : Định lí 1: Với a 0; b 0, m, n Z  ta có:

1/ . ;2/

3/( ) ;4/( . ) . 5/

m m n m n m n n

n n m n mn n n n

n

a a a a a a

a a a a a b a a b b

   

        

Định lí 2:Cho m, n R  .khi đó 1/Khi a > 1: m n a a m n    2/Khi 0 < a < 1 m n a a m n    Hệ quả:

Với là n số nguyên lẻ : a < b  n n a b  a > 0; b> 0 ; n * ¢ : n n a b a b   

2.Căn bậc n , lũy thừa số mũ hữu tỉ : 3.logarit Tính chất :a ,b không âm ,m,n là số nguyên dương , p và q là hai số tùy ý

1/ . . ;2 /

n n n n n

n a a a b a b b b  

3/  ;( 0);4 / p n p m n n mn a a a a a   

5/Nếu : ;( 0) n m p q p q a a a n m    

Đặc biệt : mn m n a a 

Đinh nghĩa: với a > 0; a 1 b> 0

loga b a b     

log log 1 0;log 1,log ,

; 0 a

b a a a

b

a a b b R

a b b

   

  Định lí: Với b,c>0 ;a>0;a 1 1.Khi a > 1:log log a a b c b c    2.Khi 0<a<1 log log a a b c b c    3. log log a a b c b c    Qui tắc logarit : Đổi cơ số : Với 0<a 1 và các số b, c > 0 ta có:

1/ log ( . ) log log

2./ log log log

3/ log log

a a a

a a a

a a

b c b c

b b c c

b b  

 

       

Cho a, b > 0 , a,b 1

1/ log log log

a b

a

c c b  với c >0 2/ 1 log log a

b b a 

3/a> 0 khác1 ,c> 0 , 0  1 log ( ) log ( ) a a c c   

Phương trình mũ Phương trình logarit 1/Phương trình cơ bản: ;( 0) log x

a a m m x m     2/ ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a a f x g x    3/Dạng đặt ẩn phụ 4/Dạng logarit hóa

1/Dạng cơ bản : 1/ Với log m a x m x a   

2/ ( ) ( ) log [ ( )] log [ ( )] ( ) 0 ( ( ) 0) a a

f x g x f x g x f x hay g x

       3/ Dạng đặt ẩn phụ 4/Vận dụng tính đồng biến nghịch biến , đoán nhận nghiệm , chứng minh có nghiệm duy nhất.

Đồ thị : ;( 1) x y a a   Đồ thị

(0 1) x y a a   

Đồ thị :

log ;( 1) a y x a  

Đồ thị

log ;(0 1) a y x a   

Giới hạn hàm số mũ

x

x 0

e 1 lim 1 x 

  Giới hạn logarit

x 0

ln(1 x) lim 1 x 

 

x o

y

1

a

1

x o

y

1

-1

a

y

x o

2

x o

y

2

ThuVienDeThi.com

Năm học 2008-2009 Trang 2/4

Đạo hàm :hàm số mũ Đạo hàm hàm số logarit ( )' x x e e  ;[ ]' '. U U e U e 

( )' .ln x x a a a  ; ( )' ' .ln U U a U a a 

(lnx)’= 1

x ; [ln(U]’= ' U

U

1 [log ]' ln a x x a  ; ' [log ]' ln a

U U U a 

PHẦN BÀI TẬP A.Bài tập : LŨY THỪA

Bài tập Hướng dẫn Hãy tính: a/( )( ) ? 3 3 3 3 3 7 4 49 28 16     b/( )( ) ? 3 3 3 3 3 4 10 25 2 5    

c/ : ?

11 16 a a a a a  d/

3 1 5 3 5 1 5 2 2 2

          

e / . ?

2 1 2 2

2 1 1 a

a

 

        

a/ =3 b/= 7 c/ :

15 11 1 16 16 4 a a a  

d/

( ) ( ) .

         

3 1 5 3 1 5 3 5 3 5 9 2 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 16 2

e/   .

2 1 2 2 2 1 3 a a a    

B.Tính đạo hàm :

Bài tập Hướng dẫn Bài 1:

2 2 ( 2 2) ; / (sin cos ).

/ ; / 2

x x

x x

x x x x

y x x e b y x x e

e e c y d y e e e





    

     Bài2: Tính đạo hàm cấp n a/ f(x) = x a Tính ( )( ) n f x b/f(x) = 3x e Tính ( )( ) n f x c/f(x) = x x e e  Tính (2005) f x

Bài 1:

2 2

2

/ ' . ; / ' (3sin cos ).

4 / ' ; / 2 .ln 2 ( ) 2

x x

x x x x

a y x e b y x x e

e c y d y e e

  

    Bài 2: a/ Dùng qui nạp ( )( ) n f x = ln x n a a b/ ( )( ) n f x = 3 3 . n x e c/ (2005) f x = x x e e 

C.Phương trình mũ -logarit

Bài tập Hướng dẫn Bài 1 a/ x x x 3 1 8 4 2

2    

b/ 2 16 2 2 5 6 2

  x x

c/ 2 1 2 1 3 3 3 2 2 2          x x x x x x d/ 12 5. 3. 2 2 1    x x x

Bài 2: a/ 0 27 3.4 3 5 2 8 4      x x b/ 0 17 2 2 7 6 2      x x

c/ 0 4 ) 3 2 ( ) 3 2 (      x x d/ 0 8 4. 15 16 .2    x x

e/ 3 2 ) 5 3 ( 16 ) 5 3 (      x x x f/ 0 2 ) 3 2 ( 3 ) 3 4 7 (      x x

Bài 3:

a/ x x x 36 .5 81 .2 16 .3   b/) 2.4 x

1

+ x x

1 1

9 6  c/ 0 12 2 8

3 3 2

  

 x x x Bài 4: a/ x x x 5 4 3   b/ 0 4 3   x x c/ 0 ) 2 1( 2 ) 2 3 ( 2      x x x x d/ 2 1 1 2 2 1 2 5 3 2 5 3 2          x x x x x x

Bài 5: a/ Giaûi vaø …