Chuyên đề về Mặt cầu

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 Trang 1

CHUYÊN ĐỀ VỀ MẶT CẦU

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa : * Mặt cầu là tập hợp những điểm M cách một điểm I cố định một khoảng không đổi . * Điểm I cố định gọi là tâm của mặt cầu . * Khoảng cách không đổi là R : Gọi là bán kính của mặt cầu . 2. Phương trình của mặt cầu : - Giả sử điểm cố định I=(a;b;c) và R là khoảng không đổi M=(x;y;z) thì theo định nghĩa :

             2 2 2 2 2 2 2 1 IM R x a y b z c R x a y b z c R               

- Nếu khai triển (1) ta có :

  2 2 2 2 2 2 2 2ax 2 2 z 0 0 2 x y z by c d a b c R d             

- Như vậy (1) và (2) gọi là phương trình tổng quát của mặt cầu . Riêng trường hợp phương trình (2) muốn là phương trình của mặt cầu thì phải thỏa mãn điều kiện :

 2 2 2 2 0 * R a b c d      3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) : Ax+By+Cz+D=0 tiếp xúc với cầu (S) thì : Khoảng cách từ tâm I của cầu đế mặt phẳng (P) phải bằng bán kính của (S) :

   2 2 2 aA ; 3 bB cC D h I P R A B C

        Khi đó mặt phẳng (P) gọi là tiếp diện của cầu (S) .

B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

BÀI TOÁN 1: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU .

Để lập được phương trình mặt cầu ta phải biết tọa độ của tâm I của cầu : ( Có ba ẩn số - là ba tọa độ của I ) và biết bán kính của R của mặt cầu , như vậy có bốn ẩn số . Vì thế bài toán đã cho ta phải thiết lập được bốn phương trình thì ta mới giải được . Đặc biệt khi tâm I của mặt cầu mà nằm trên một đường thẳng d , thì ta chuyển đường thẳng d sang tham số , vì vậy ba tọa độ của I ta biểu diễn qua ẩn t , sau đó ta chỉ cần tìm một phương trình nữa là đủ . Sau đây chúng ta cùng nhau tham khảo một số dạng toán hay gặp trong các kỳ thi tôt nghiệp cũng như thi đại học trong những năm gần đây . 1. Lập (S).đi qua bốn điểm :

• Bước 1: Viết phương trình của (S) dạng (2). • Bước 2: Cho (S) đi qua lần lượt bốn điểm ta được bốn phương trình . • Bước 3: Giải hệ bốn phương trình tìm được , suy ra bốn ẩn là : a,b,c và d . • Bước 4: Thay bốn ẩn tìm được vào (2) ta suy ra phương trình của (S).

VÍ DỤ MINH HỌA

ThuVienDeThi.com

CHUYÊN ĐỀ MẶT CẦU

Sưu tầm và biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT : 02403833608 Trang 2

Ví dụ 1. ( TN-02-03). Trong không gian với tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A,B,C,D có tọa độ xác định bởi hệ thức A(2;4;-1) , 4 ; (2;4;3); D 2 2 OB i j k C O i j k              . 1/ Chứng minh rằng : AB , D, D AC AC A A AB    . Tính thể tích khối tứ diện ABCD. 2/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng (ABD) . 3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện

  của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) .

GIẢI 1/ Chứng minh rằng : AB , D, D AC AC A A AB    . Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Ta có : A(2;4;-1),B(1;4;-1),C(2;4;3) và D(2;2;-1) suy ra :

 

 

 

1;0;0 0

0;0;4 . D 0 ; D, D .

D. 0 D 0; 2;0

AB ABAC

AC AC A AB AC AC A A AB

A AB A

                         

 

 

 

2/ Viết phương trình tham số đường vuông góc chung  của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng (ABD) . Do  là đường vuông góc chung cho nên :

0 0 0 1 1 0 , D ; ; D 2 4 4 0 0 2 AB u AB C C

                        

 

   

2

0; 4;2 / / 0;2; 1 : 4 2

1

x

u y t

z t

            



Vì :   D 0; 2; 4 C     và  qua A(2;4;-1). - Mặt phẳng (ABD) qua A(2;4;-1) có       0;0;4 / / 0;0;1 D : 1 0 n AC k AB z        

- Gọi    

. 1 1 ; D sin os ,

4 1.1 5

u k AB c u k

u k  







       

 



3. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A,B,C,D . Viết phương trình tiếp diện

  của cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD) . Cách 1: Gọi (S) :   2 2 2 2 2 2 2 2ax-2 2 z 0 0 2 x y z by c d a b c R d           …