Chuyên đề Khối đa diện - Bùi Văn Thanh

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114)

1

CĐ - KHỐI ĐA DIỆN

Vấn đề 1: Tính thể tích

a. Lý thuyết

- Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V B.h 

- Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là : 1 V B.h 3 

b. Một số ví dụ

Phân tích: Để tính được thể tích trong mỗi bài toán cần xác định được chiều cao và diện tích đáy của khối chóp.

Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a. Biết SA  (ABC) và SB hợp với đáy một góc 600

.

a) CMR các mặt bên là tam giác vuông.

b) Tính thể tích hình chóp S.ABC.

Bài giải:

C

B

A

S

Phân tích:

- Đường cao của khối chóp : SA

- Đáy: Tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a

a) Ta có : SA (ABC) SA  AB, SA  AC hay SAB, SAC vuông tại A.

Ta có: BC SA;BC AB BC (SAB)     BCSB hay SBC vuông tại B.

b) Ta có : ABC S = 1

2 AB.BC =

2 a

4

AB là hình chiếu của SB trên (ABC) Góc giữa SB và (ABC) là  SBA = 60

0

Xét ABC: AB

2 + BC

2 = AC

2 = a

2 AB = BC = a

2

Xét SAB : SA = AB.tan60

0 = a 6

2

Ta có : SA (ABC) V SABC = 1

3 .SA. ABC S =

3a 6 24

ThuVienDeThi.com

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114)

2

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA (ABC) và (SBC) hợp với đáy một góc 60

0 . Tính thể tích hình chóp S.ABC. Bài giải:

C

M

B

A

S

Phân tích:

- Đường cao của khối chóp : SA

- Đáy: Tam giác ABC đều cạnh a.

Gọi M là trung điểm của BC. Vì ABC đều AM  BC (1)

Ta có: SA  (ABC) SA  BC (2)

Từ (1), (2)  BC  (SAM) SM  BC (3)

Từ (1), (3) Góc giữa (SBC) và (ABC) là  SMA = 60

0

Xét ABC : AM = 2 2 a 3 AB BM 2   , ABC S =

2 1 a 3 AM.BC 2 4 

Xét 0 3a SAM: SA AMtan60 2   

Ta có: SA  (ABC) 

3

SABC ABC 1 a 3 V .SA.S 3 8   

Ví dụ 3 (TN - 2009). Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA(ABC), biết  BAC=120

0 . Tính thể tích hình chóp S.ABC theo a. Bài giải:

A

S

C

B Phân tích:

- Đường cao của khối chóp : SA

ThuVienDeThi.com

GV: BÙI VĂN THANH (SĐT 01689341114)

3

- Đáy: Tam giác ABC

Ta có : SAB SAC AB AC    

Xét ABC  : 2 2 2 BC AB AC 2AB.AC.cosA    a 3 AB AC 3   

Xét SAB  : 2 2 a 6 SA SB AB 3    ;

2

ABC

1 a 3 S AB.AC.sinA 2 12   

Ta có: SA  (ABC) 

3

SABC ABC 1 a 2 V SA.S 3 36   

Ví dụ 4 (TN - 2010). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA

(ABCD) và (SBD) tạo với đáy một góc 60

0 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải:

D

C B

S

A

O

Phân tích:

- Đường cao của khối chóp : SA

- Đáy: ABCD là hình vuông cạnh a.

Gọi O = AC BD  Ta có: BD SA;BD AC BD (SAC)     Mà SO (SAC) BD SO    BD (SBD) (ABCD) SO BD,AO BD

       

Góc giữa (SBD) và (ABCD) là  0 SOA 60 

Xét SAO  :  a 6 SA OA.tanSOA 2  

2 2 ABCD S AB a  

Ta có: SA (ABCD) 3 SABCD ABCD 1 V SA.S a 6 3   

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,  BAC=60

0 . Biết SA (ABCD) và khoảng cách từ A đến SC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Bài giải:

ThuVienDeThi.com