Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi Toán 11 năm học 2015 2016

TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 11

NĂM HỌC : 2015 – 2016 Thời gian làm bài : 180 phút

Câu 1. (1.5 điểm) Giải phương trình :  

2 cos2 cos4 6 2sin3 x x x    Câu 2. (1.5 điểm) Cho tam giác ABC và 5 đường thẳng song song với AB, 6 đường thẳng song song với BC, 7 đường thẳng song song với CA. Hỏi có bao nhiêu hình thang tạo bởi các đường thẳng đã cho.

Câu 3. (1.5 điểm) Cho dãy số   nx xác định như sau

1

* 1

3

3 2 , n n

x

x x n N 

      

Chứng minh   nx có giới hạn và tính giới hạn đó.

Câu 4. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình :   

    

2 4 4 9 3

4 2 2 3 3

x x x y xy y

x x y x

      

    

Câu 5. (1.0 điểm) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC. Tính góc tạo bới hai đường thẳng AG và SD.

Câu 6. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm 8;0 3 G     

nội tiếp

đường tròn (C) tâm I. Biết     0;1 , 4;1 M N lần lượt là điểm đối xứng với với I qua các đường

thẳng AB, AC; đường thẳng BC đi qua   2; 1 K  . Viết phương trình đường tròn (C). Câu 7. (1.0 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Chứng minh rằng :

2 2 2

1 OA OB OC bc ca ab   , với , , a BC b AC c AB    .

Câu 8. (1.0 điểm) Cho , , x y z là các số thực dương thỏa mãn 1 x y z   .

Chứng minh rằng : 1 x y z P

x x yz y y zx z z xy          

.

------------------ HẾT ------------------

THÁNG 03 NĂM 2016

ThuVienDeThi.com

ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 11

THÁNG 03 NĂM 2016

CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 Giải phương trình :  

2 cos2 cos4 6 2sin3 x x x     2 2 4sin 3 .sin 6 2sin3 * pt x x x   

  

2

2 sin 3 1 * 4

* sin 1 * 4 sin3 1

sin3 1 2 , cos 0 2

x VT

x VP x

x x k k Z x

 

                

         

1.5

Câu 2 Cho tam giác ABC và 5 đường thẳng song song với AB, 6 đường thẳng song song với BC, 7 đường thẳng song song với CA. Hỏi có bao nhiêu hình thang tạo bởi các đường thẳng đã cho. * Hình thang có 2 cạnh song song AB, 1 cạnh song song BC, 1 cạnh song song CA : Có 2 1 1 5 6 7 . . 420 C C C  hình * Hình thang có 2 cạnh song song BC, 1 cạnh song song CA, 1 cạnh song song AB : Có 2 1 1 6 7 5 . . 525 C C C  hình * Hình thang có 2 cạnh song song CA, 1 cạnh song song AB, 1 cạnh song song BC : Có 2 1 1 7 5 6 . . 630 C C C  hình * Hình thang có 2 cạnh song song AB, 2 cạnh song song BC : Có 2 2 5 6 . 150 C C  hình * Hình thang có 2 cạnh song song BC, 2 cạnh song song CA : Có 2 2 6 7 . 315 C C  hình * Hình thang có 2 cạnh song song AB, 2 cạnh song song BC : Có 2 2 7 5 . 210 C C  hình Vậy tất cả có : 420 525 630 150 315 210 2250       hình

1.5

Câu 3

Cho dãy số   nx xác định như sau

1

* 1

3

3 2 , n n

x

x x n N 

      

* Chứng minh 1 n n x x  bằng qui nạp   nx  tăng Chứng minh 3 nx  bằng qui nạp   nx  bị chặn trên Vậy   nx có giới hạn

* Giả sử     lim 3 3 nx a a    , ta có 3 2 3 a a a    

Vậy   lim 3 nx 

1.5

ThuVienDeThi.com