20 cách giải cho một bài toán đơn giản

20 CÁCH GIẢI CHO MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN

Nguyễn Xuân Thành, ĐHBKHN

Ở cấp THCS ta đã được làm quen với một định lí rất quen thuộc là tam giác ABC cân nếu có AM vừa là trung tuyến vừa là đường phân giác.Bài toán này vốn dĩ chứng minh không khó tuy nhiên một câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cách để chứng minh bài toán này.Chắc hẵn sẽ có rất nhiều cách chứng minh bài toán này.Khi còn học lớp 12 mình đã mày mò, lục lọi, để tìm ra 20 cách giải cho bài toán trên, tất nhiên các cách giải là khác nhau mặc dù có một số cách đều dựa vào một định lí hoặc một kiến thức nào đó.

 PHẦN 1:GIẢI THEO KIẾN THỨC TRUNG HỌC CƠ SỞ

Cách 2:

Kẻ ME⊥ AB và MF⊥AC.Vì AM là phân giác nên theo tính chất đường phân giác ta có ME=MF.Từ đó suy ra MEB= MFC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)⇒ ⇒ .Vậy ∆ ∆ 𝑀𝐵𝐸= 𝑀𝐶𝐹 𝐵= 𝐶 ∆ABC cân.

Cách 3

Lấy điểm N thoả mãn ⇒∆AMC=∆NMB (c.g.c)⇒AC=BN (1) M là trung điểm của AN

Và ∆BAN cân tại B nên 𝑀𝐴𝐶= 𝑀𝑁𝐵 𝑚à 𝐴𝑀 𝑙à 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑛ê𝑛 𝑀𝐴𝐶= 𝑀𝐴𝐵⇒𝑀𝐴𝐵= 𝑀𝑁𝐵⇒ AB=BN (2)

Từ (1) và (2) ta có AB=AC.Vậy ∆ABC cân.

Cách 1:

Vì AM là phân giác nên 𝑀𝐵

𝑀𝐶=

𝐴𝐵

𝐴𝐶 Mặt khác AM cũng là trung tuyến nên MB=MC Suy ra AB=AC,nghĩa là tam giác ABC cân.

B

C

A M N

ThuVienDeThi.com

Cách 4:

Kẻ MI AB, Áp dụng định lí Talet ta có ⇒AB=2MI và AC=2AI.(1) 𝑀𝐼

𝐴𝐵=

𝐼𝐶

𝐴𝐶=

𝐶𝑀

𝐶𝐵=

1

2

Do MI AB⇒ (do AM là phân giác) ⇒∆IAM cân⇒AI=IM (2) 𝐼𝑀𝐴= 𝑀𝐴𝐵= 𝑀𝐴𝐼

Từ (1) và (2) ⇒AB=AC.Do đó ∆ABC cân.

Cách 5

A

Kẻ phân giác BE và EJ BC. Gọi I là giao điểm của AM và BE.

Theo định lí Talet và từ giả thiết:

⇒AB=AC. Vì vậy ∆ABC là tam giác cân. 𝐴𝐸

𝐴𝐶=

𝐽𝐸

𝑀𝐶=

𝐽𝐸

𝑀𝐵=

𝐼𝐸

𝐼𝐵=

𝐴𝐸

𝐴𝐵

Cách 6:

Kẻ trung tuyến BN và gọi G là trọng tâm ∆ABC

Thế thì AC=2AN và GB=2GN.

Do AG là phân giác nên 2 ⇒AB=2AN. 𝐺𝐵

𝐺𝑁=

𝐴𝐵

𝐴𝑁=

Do đó AB=AC=2AN. Vậy là ∆ABC cân.

A

B

M

C

I

B C M

E I

J

A

B C M

N G

ThuVienDeThi.com

Cách 7:

Giả sử AB>AC⇒tồn tại điểm E trên cạnh AB sao cho AE=AC.Dễ dàng nhận thấy ∆AEM=∆ACM (c.g.c)⇒ME=MC.Mà theo giả thiết MB=MC ⇒ME=MB⇒∆MBE cân tại M.

Nên ⇒Vô lí. 𝐵= 𝑀𝐸𝐵= 180° ‒ 𝑀𝐸𝐴= 180° ‒ 𝑀𝐶𝐴= 180° ‒ 𝐶⇒𝐵+ 𝐶= 180°

Vậy AB AC.Lập luận tương tự xét với trường hợp AB<AC ta cũng dẫn đến điều vô lí. ≤

Cuối cùng bắt buộc AB=AC hay tam giác ABC là tam giác cân.

Cách 8:

Lấy điểm D thoả mãn AD MC và AD=MC.(D và B khác phía nhau qua AM).

Vì MC=MB nên AD MB và AD=MB.

Khi đó ADCM và ADMB đều là hình bình hành nên AB MD và AM DC.Từ đó ta có:

𝐵𝐴𝑀= 𝐴𝑀𝐷= 𝑀𝐷𝐶 𝑣à 𝐶𝐴𝑀= 𝐼𝐶𝐷 𝑣ì 𝐴𝑀 𝑙à 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐 𝑛ê𝑛 𝐶𝐴𝑀= 𝐵𝐴𝑀⇒𝑀𝐷𝐶= 𝐼𝐶𝐷

Do đó ∆ICD cân tại I ⇒ID=IC.Mặt khác: AB=MD=2ID và AC=2IC nên AB=AC.

Vậy tam giác ABC cân.

A

B C M

E

A

B C M

D

I

ThuVienDeThi.com

Cách 9:

Từ C kẻ CK AM (K ).Khi đó ta được: ∈𝐴𝐵

𝐵𝐴𝑀= 𝐴𝐾𝐶 ,𝑀𝐴𝐶= 𝐴𝐶𝐾,𝑑𝑜 𝐴𝑀 𝑙à 𝑝ℎâ𝑛 𝑔𝑖á𝑐⇒𝐵𝐴𝑀= 𝐶𝐴𝑀⇒𝐴𝐾𝐶= 𝐴𝐶𝐾

Do đó ∆AKC cân tại A ⇒AK=AC (1)

Hơn nữa theo định lí Talet mà MB=MC nên BA=AK (2)

𝐵𝐴

𝐴𝐾=

𝐵𝑀

𝑀𝐶

Từ (1) và (2) ta có AB=AC,vậy là ∆ABC cân.

Cách 10:

Kẻ BK⊥AM,CH⊥AM.Giả sử H,K cùng phía với nhau qua BC.Xét 2 trường hợp:

TH1:H,K,A cùng phía với nhau qua BC.Khi đó 𝐴+ 𝐵+ 𝐶> 𝐵𝐴𝐾+ 𝐴𝐵𝐾+ 𝐶𝐴𝐾+ 𝐴𝐶𝐻

=180 (vì 2 tam giác BKA và ACH là các tam giác vuông).⇒Vô lí vì tổng 3 góc > 90° + 90° ° trong tam giác bằng 180 ⇒LOẠI. °

TH2:H,K và A khác phía nhau qua BC.Lúc này ta lại có 𝐴+ 𝐵+ 𝐶< 𝐵Ạ𝐾+ 𝐴𝐵𝐾+ 𝐻𝐴𝐶+

⇒Vô lí⇒LOẠI. 𝐴𝐶𝐻= 90° + 90° = 180°

A

B M C

K

A

B C

K

H M

ThuVienDeThi.com