Cấu trúc nhóm trong một số bài toán sơ cấp

Dành cho các bạn trẻ

LTS: "Dành cho các bạn trẻ" là mục dành cho Sinh viên, Học sinh và tất cảcác bạn trẻyêu Toán. Tòa soạn mong nhận được các bài viết hoặc bài dịch có giá trịcho chuyên mục.

Cấu trúc nhóm trong một số bài toán sơ cấp

Đoàn Trung Cường (Viện Toán học)

1. GIỚI THIỆU

Lý thuyết nhóm có nguồn gốc từlý thuyết số, lý thuyết các phương trình đại sốvà từhình học. Việc phát triển lý thuyết nhóm đã dẫn tới sựra đời của đại sốtrừu tượng, lý thuyết biểu diễn và nhiều ngành toán học mới khác. Ngày nay, cấu trúc nhóm xuất hiện và có ứng dụng trong hầu hết các lĩnh vực của toán học, xuất hiện trong vật lý, hóa học.

Cấu trúc nhóm xuất hiện tựnhiên trong các bài toán sơ cấp. Ví dụđơn giản nhất là các nhóm Z, Q, R, C với phép toán +. Ví dụít hiển nhiên hơn là các nhóm hữu hạn (nói chung không abel) xuất hiện trong lý thuyết số, tổhợp và đại số.

Trong bài này chúng tôi sẽđiểm lại một vài ứng dụng của lý thuyết nhóm đểgiải một sốbài toán sơ cấp. Mặc dù các bài tập minh họa đều có lời giải sơ cấp, chúng tôi sẽkhông tập trung trình bày các lời giải này mà chủyếu phân tích sựxuất hiện các cấu trúc nhóm như thếnào.

2. MỞĐẦU VỀNHÓM

Nhóm. Ta biết rằng phép cộng trên tập các sốnguyên Z thỏa mãn các tính chất kết hợp, có phần tửtrung hòa (phần tử0) và mọi phần tửđều có phần tửđối (phần tửđối của 𝑛là −𝑛). Ta gọi tập Z cùng với phép cộng là một nhóm.

1

ThuVienDeThi.com

Một ví dụkhác là nhóm đối xứng. Cho 𝑛∈N và xét 𝑋= {1, 2, . . . , 𝑛}. Ký hiệu 𝒮𝑛là tập tất cảcác phép hoán vịtrên 𝑋, nghĩa là, 𝒮𝑛là tập các song ánh 𝜎: 𝑋→ 𝑋. Phép hợp thành của các ánh xạtrong 𝒮𝑛thỏa mãn các tính chất:

(i) ∀𝜎1, 𝜎2, 𝜎3 ∈𝒮𝑛, (𝜎1 ∘𝜎2) ∘𝜎3 = 𝜎1 ∘(𝜎2 ∘𝜎3).

(ii) Gọi id là phép hoán vịđồng nhất, ta có id ∘𝜎= 𝜎∘id = 𝜎, với mọi 𝜎∈𝒮𝑛.

(iii) Với 𝜎∈𝒮𝑛, ánh xạnghịch đảo 𝜎−1

cũng nằm trong 𝒮𝑛.

Khi đó 𝒮𝑛cùng với phép hợp thành các ánh xạcũng được gọi là một nhóm.

Không phải một tập hợp với một phép toán bất kỳcũng là một nhóm (xem Ví dụ2.2(ii) ởdưới). Ta có định nghĩa tổng quát.

Định nghĩa 2.1. Một nhóm 𝐺là một tập hợp cùng với phép toán nhóm 𝐺× 𝐺→ 𝐺, (𝑎, 𝑏) ↦→𝑎𝑏, thỏa mãn

- ∀𝑎, 𝑏, 𝑐∈𝐺, (𝑎𝑏)𝑐= 𝑎(𝑏𝑐) (tính chất kết hợp).

- ∃𝑒∈𝐺thỏa mãn 𝑎𝑒= 𝑒𝑎= 𝑎, ∀𝑎∈𝐺 (phần tửđơn vị).

- ∀𝑎∈𝐺, ∃𝑏∈𝐺sao cho 𝑎𝑏= 𝑏𝑎= 𝑒 (phần tửnghịch đảo).

𝐺là một nhóm abel nếu

- ∀𝑎, 𝑏∈𝐺, 𝑎𝑏= 𝑏𝑎(tính chất giao hoán).

Nếu phép toán nhóm viết theo lối nhân (tương ứng, lối cộng) thì phần tửđơn vị còn được ký hiệu là 1 (tương ứng, 0), phần tửnghịch đảo của 𝑎ký hiệu là 𝑎−1

(tương ứng, −𝑎và gọi là phần tửđối).

Một nhóm con của 𝐺là một tập con 𝐻⊆𝐺thỏa mãn 𝑒∈𝐻và với 𝑎, 𝑏∈𝐻 thì 𝑎−1 ∈𝐻, 𝑎𝑏∈𝐻. Như vậy, nếu 𝑎∈𝐻 thì 𝑎𝑛, 𝑎−𝑛∈𝐻với mọi 𝑛= 1, 2, . . .. Nếu 𝐻= {𝑎𝑛: 𝑛∈Z} với một phần tử𝑎nào

đó thì 𝐻được gọi là một nhóm xyclic sinh bởi 𝑎.

Ví dụ2.2. (i) Một sốnhóm abel quen thuộc là

- Nhóm với phép cộng: Z ⊂Q ⊂R ⊂C.

- Nhóm với phép nhân: {±1} ⊂Q× ⊂ R× ⊂C× hoặc R>0 ⊂R×. Ởđây ký hiệu 𝑘× := 𝑘∖{0}.

(ii) Tập R>0 không là một nhóm đối với phép cộng vì với 𝑥∈R, 𝑥> 0 thì −𝑥̸∈ R>0.

Nhóm hữu hạn. Nếu nhóm 𝐺có hữu hạn phần tửthì ta nói 𝐺là một nhóm hữu hạn. Cấp của 𝐺là sốphần tửcủa nhóm đó và ký hiệu là |𝐺|. Với mỗi 𝑔∈𝐺có một sốnguyên dương 𝑛> 0 sao cho 𝑔𝑛= 1. Sốnguyên dương nhỏnhất như vậy được gọi là cấp của 𝑔và ký hiệu là ord(𝑔).

Ví dụ2.3. Xét tập Z/𝑛Z gồm các lớp thặng dư mod 𝑛. Với ¯𝑎,¯𝑏∈Z/𝑛Z, ta có ¯𝑎+ ¯𝑏= 𝑎+ 𝑏và ¯𝑎.¯𝑏= 𝑎𝑏. Tập Z/𝑛Z cùng với phép cộng là một nhóm abel hữu hạn cấp 𝑛. Xét tập (Z/𝑛Z)* := {¯𝑎∈Z/𝑛Z : (𝑎, 𝑛) = 1}. Bằng thuật toán chia Eu- clide ta chứng minh được (Z/𝑛Z)* cùng với phép nhân là một nhóm abel hữu hạn, cấp của nhóm này là 𝜙(𝑛) = #{0 < 𝑎< 𝑛: (𝑎, 𝑛) = 1}.

Ví dụ2.4. Nhóm 𝒮𝑛là một nhóm hữu hạn và được gọi là nhóm đối xứng (hay nhóm các phép thế). 𝒮𝑛là một nhóm abel khi và chỉkhi 𝑛< 3. Cấp của 𝒮𝑛là |𝒮𝑛| = 𝑛!. Nếu thay tập {1, . . . , 𝑛} bởi một tập 𝑋có 𝑛phần tửthì ta cũng được nhóm đối xứng trên 𝑋, ký hiệu là 𝒮𝑋.

Với mỗi nhóm con 𝐻của một nhóm hữu hạn 𝐺và 𝑎∈𝐺, đặt 𝑎𝐻:= {𝑎𝑏: 𝑏∈𝐻}. Dễthấy với 𝑎, 𝑎′ ∈𝐺thì hoặc 𝑎𝐻= 𝑎′𝐻hoặc 𝑎𝐻∩𝑎′𝐻= ∅(hoặc trùng nhau hoặc không giao nhau). Nói …