Cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc 2

Tên : Trương Quang An Giáo viên Trường THCS Nghĩa Thắng Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 01208127776

CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2

I. HỆ THỐNG MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC 2:Ta thường gặp một số dạng phương trình có thể quy về phương trình bậc

hai để giải sau đây:

Dạng 1. Phương trình tích.Dạng 2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Dạng 3. Phương trình trùng phương.Dạng 4. Phương trình dạng: a[f(x)]2 + bf(x) +

c = 0 hoặc

( ) ( ) . . 0 ( ) ( )

f x g x a b c g x f x  .

Dạng 5. Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c.Dạng 6. Phương trình dạng (x +

a)(x + b)(x + c)(x + d) = m, trong đó: a+b = c+d, m 0.

Dạng 7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = mx2, trong đó: ab = cd, m

0.Dạng 8. Phương trình đối xứng .Dạng 9. Phương trình hồi quy.

II. CÁCH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH

BẬC 2:

1. Phương trình tích: là phương trình có một vế bằng không, vế còn lại là một tích

của các nhân tử chứa ẩn.

1.1. Cách giải: Áp dụng công thức:

1

2 1 2

( ) 0 (1) ( ) 0 (2) ( ). ( )... ( ) 0 ............

( ) 0 ( )

n

n

A x A x A x A x A x

A x n

      

  

Ta giải n phương trình (1), (2), . . ., (n) rồi lấy tất cả các nghiệm của chúng.

1.2. Ví dụ 1 Giải các phương trình: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1

ThuVienDeThi.com

Giải: (2x2 + x - 4)2 = 4x2 – 4x + 1  (2x2 + x - 4)2 - (2x - 1)2 = 0

(2x2 + x – 4 + 2x - 1)(2x2 + x – 4 - 2x + 1) = 0

(2x2 + 3x - 5)(2x2 - x - 3) = 0 

2

2 2x +3x - 5 = 0 (1)

2x - x - 3 = 0 (2)

  

Giải các phương trình (1) và (2) ta được x1 = 1; x2 = -2,5; x3 = -1; x4 = 1,5

Vậy S =   1 2 3 4 x = 1; x = -2,5; x = -1; x = 1,5

1.3. Nhận xét:- Loại phương trình này các em HS đã được làm quen từ lớp 8 -

THCS. Lên lớp 9, sau khi học xong về phương trình bậc hai một ẩn, để giải một

phương trình bậc cao (bậc lớn hơn 2), đối với HS THCS thường dùng phương pháp

biến đổi đưa về phương trình tích. Muốn vậy HS phải có kĩ năng phân tích đa thức

thành nhân tử (chỉ cần phân tích thành tích các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai).

- Chú ý tới các tính chất của phương trình bậc ba: ax 3+ bx 2 + cx + d = 0

Nếu a + b + c + d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1

Nếu a – b + c – d = 0 thì phương trình có một nghiệm x = -1.

- Đa thức bậc n có các hệ số nguyên. Nếu có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó

phải là ước của hệ số tự do (Định lí về sự tồn tại của nghiệm nguyên của phương

trình với hệ số nguyên).Khi đã nhận biết được nghiệm (chẳng hạn x = x0), ta phân

tích được vế trái của phương trình thành nhân tử (chứa một nhân tử là x – x0).

*Ví dụ 2. Giải phương trình: 3 2 2 7 3 8 0 x x x     (*)

Hướng dẫn: Chú ý 2 – 7 + (- 3) – (- 8) = 0 => (*) có một nghiệm là x = -1,

từđóphântíchđược:    3 2 3 2 2 2 7 3 8 2 2 5 5 (8 8) x x x x x x x x         

2 2 ( 1) 5 ( 1) 8( 1) x x x x x          2 1 2 5 8 x x x     .

Kết luận: Phương trình có 3 nghiệm: x1 = -1; 2 3 5 89 5 89 ; 4 4 x x    

ThuVienDeThi.com