Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

1

một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp 1 : dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta chứng minh A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 0 với M 2  Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x + y + z xy+ yz + zx

2 2 2  b) x + y + z 2xy – 2xz + 2yz 2 2 2 

c) x + y + z +3 2 (x + y + z)

2 2 2 

Giải: a) Ta xét hiệu: x + y + z - xy – yz – zx = .2 .( x + y + z - xy – yz – 2 2 2

2 1 2 2 2

zx)

= đúng với mọi x;y;z 2 1  0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2       z y z x y x R 

Vì (x-y)2 0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y; (x-z)2 0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra   khi x=z (y-z)2 0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y  Vậy x + y + z xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z

2 2 2  b)Ta xét hiệu: x + y + z - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x + y + z - 2xy +2xz –2yz

2 2 2 2 2 2

=( x – y + z) đúng với mọi x;y;z 2 0  R  Vậy x + y + z 2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z . Dấu bằng xảy ra khi 2 2 2  R  x+y=z c) Ta xét hiệu: x + y + z +3 – 2( x+ y +z ) = x - 2x + 1 + y -2y +1 + z -2z +1

2 2 2 2 2 2

= (x-1) + (y-1) +(z-1) 0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 2 2 2  Ví dụ 2: chứng minh rằng :

a) ; b)

2 2 2

2 2          b a b a

2 2 2 2

3 3            c b a c b a

c) Hãy tổng quát bài toán

Giải: a) Ta xét hiệu = =

2 2 2

2 2          b a b a  

4 2 4 2 2 2 2 2 b ab a b a       ab b a b a 2 2 2 4 1 2 2 2 2    

= . Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a=b   0 4 1 2  b a

2 2 2

2 2          b a b a

b)Ta xét hiệu: =

2 2 2 2

3 3            c b a c b a        0 9 1 2 2 2       a c c b b a

Vậy ; Dấu bằng xảy ra khi a = b =c

2 2 2 2

3 3            c b a c b a

c)Tổng quát:

2 2 1 2 2 2 2 1 .... ....  

  

       

n

a a a n

a a a n n

phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng. Chú ý các hằng đẳng thức sau:  

2 2 2 2 A B A AB B    

ThuVienDeThi.com

2

  BC AC AB C B A C B A 2 2 2 2 2 2 2          

3 3 2 2 3 3 3 A B A A B AB B     

Ví dụ 1:Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng: a) ab b a  4

2 2

b) c) b a ab b a      1 2 2   e d c b a e d c b a         2 2 2 2 2

Giải: a) ab b a  4

2 2 ab b a 4 4 2 2    0 4 4 2 2     b a a

(bất đẳng thức này luôn đúng)   0 2

2    b a

Vậy (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) ab b a  4

2 2

b) b a ab b a      1 2 2  ) ( 2 1 ( 2 2 2 b a ab b a       0 1 2 1 2 2 2 2 2 2           b b a a b ab a Bất đẳng thức cuối đúng. 0 )1 ( )1 ( ) ( 2 2 2        b a b a Vậy . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 b a ab b a      1 2 2

c)   e d c b a e d c b a         2 2 2 2 2

    e d c b a e d c b a         4 4 2 2 2 2 2

    0 4 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2             c ac a d ad a c ac a b ab a         0 2 2 2 2

2 2 2 2         c a d a c a b a Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2: Cho a, b là hai số dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1     b a Giải: Dùng phép biến đổi tương đương ;

3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1)  9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1)    9 4ab + 8  1 4ab  (a + b)2 4ab    Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh .

Ví dụ 3: cho x.y =1 và x>y Chứng minh y x

y x

  2 2

 2 2

Giải: Ta có: vì : x y nên x- y 0 x2+y2 ( x-y) y x

y x

  2 2

 2 2     2 2

x2+y2- x+ y 0 x2+y2+2- x+ y -2 0  2 2 2 2   2 2 2 2  x2+y2+( )2- x+ y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2  2 2 2 2 2  (x-y- )2 0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh  2 

Ví dụ 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a3 + b3 + ab 2

1

Giải : Ta có : a3 + b3 + ab <=> a3 + b3 + ab - 0  2 1

2 1 

<=> (a + b)(a2 - ab + b2) + ab - 0 <=> a2 + b2 - 0 . Vì a + b = 1 2 1  2 1 

 2a2 + 2b2 - 1 0  2a2 + 2(1-a)2 - 1 0 ( vì b = a -1 )  4a2 - 4a + 1 0 ( 2a - 1 )2     …