Một số kỹ năng sử dụng lượng liên hợp để giải Phương trình - Bất phương trình vô tỷ

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 1

MỘT SỐ KỸ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢNG LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PT-BPT VÔ TỶ Nguyễn Văn Cường Gv THPT Mỹ Đức A-Hà Nôi. Cuongvan12@gmail.com Đt 01272334598 ( Gửi tặng các em học sinh 12A4-THPT Mỹ Đức A –HN năm 2014- 2015) NỘI DUNG BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN ĐẶC SAN THTT THÁNG 10 2014 Khi giải các bài toán về phương trình,bất phương trình vô tỷ trong các kỳ thi đại học hay học sinh giỏi các tỉnh ,thành phố ,một trong các phương pháp hay được sử dụng là đưa phương trình về phương trình,bất phương trình tích .Để giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp này ,tôi xin giới thiệu một số kỹ năng thường dùng khi vận dụng lượng liên hợp vào giải phương trình ,bất phương trình vô tỷ . Dạng 1: Biểu thức liên hợp xuất hịên ngay trong phương trình ,bất phương trình.

Lưu ý: a b a b

a b − ± =

∓

(a,b>0 a ≠b); 3 3

3 3 2 2 3 a b a b

a ab b

± ± = + ∓

Ví dụ 1: Giải bất phương trình 10x 1 3x 5 9x 4 2x 2 + + − ≥ + + − (Đề dự bị khôi B năm 2008)

Phân tích: 10x 1 (9x 4) 3x 5 (2x 2) −− + = − − − nên ta có lời giải sau:

Lời giải : Điều kiện: x 5/ 3 ≥ Bpt

( ) ( )

( )

x 3 x 3 10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 0 0 10x 1 9x 4 3x 5 2x 2 1 1 x 3 0 x 3 0 x 3 10x 1 9x 4 3x 5 2x 2

− − ⇔ + − + + − − − ≥ ⇔ + ≥ + + + − + −   − + ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥   + + + − + −  

So với điều kiện,bất phương trình có nghiệm x 3 ≥ .

Ví dụ 2: Giải phương trình : ( ) 9 4 1 3 2 3 + − − = + x x x (HSG K12 Hà Nội -2010)

Lời giải: Đk 2 / 3 ≥ x

3 9 3 9 4 1 3 2 4 1 3 2 +   ⇔ = + ⇔ = + + −   + + −  

x pt x x x x x ,Bình phương 2 vế ta có nghiệm x=6

Ví dụ 3 Giải phương

2 6x 4 2x 4 2 2 x x 4

− + = + − +

Phân tích: Quan sát phương trình ta thấy 2x +4 –4(2-x)=6x-4.Đây là cơ sở tốt để ta nhóm

Lời giải:Đk

2 2 6x 4 6x 4 6x 4 2 x 2,Bpt 2x 4 2 2 x 2x 4 2 2 x x 4 x 4

− − − −≤ ≤ ⇔ + − − = ⇔ = + + − + +

2 x 3/ 2

2x 4 2 2 x x 4(*)

=  + + − = +  Bình phương hai vế phương trình (*) và chuyển vế ta có

( )( )

2 4 2x 4 2 x x 2x 8 + − = + − Do 2 x 2x 8 0 x 4;x 2 + − ≥ ⇔ ≤− ≥ Kết hợp điều kiện ta có x=2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau : 2 3 2 1 2 3 x x x x − − + = − − Phân tích :Khi ghép các biểu thức trong căn ta thấy ( ) ( ) 3 2 1 2 3 x x x   − − + = −   và phân tích biểu thức còn

ThuVienDeThi.com

www.MATHVN.com – Toán Học Việt Nam

GV: Nguyễn Văn Cường www.DeThiThuDaiHoc.com 2

lại ( )( ) 2 2 3 2 3 1 x x x x − − = − + xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải : Đk 2 / 3 x ≥ .Pt ( )( ) ( ) ( ) 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x −   ⇔ = − + ⇔ − − + =   − + + − + +  

3/ 2 x ⇔ = hoặc ( ) 1 1 3 2 1 x x x

= + − + + (Vô nghiệm vì VT<1,VP>1)

Dạng 2: Tìm được 1 nghiệm ,thêm ,bớt để làm xuất hiện biểu thức liên hợp. Ví dụ 5 Giải phương trình 2 3 1 6 3 14 8 0 x x x x + − − + − − = (1) ( ĐHKB-2010) Phân tích: Dùng chức năng CALC của máy tính bỏ túi ta tìm được nghiệm x=5 hoặc

Ta tìm một số x ( 1 6 3 x − ≤ ≤ ) sao cho 3x+1 và 6-x là một số chính phương thỏa mãn phương trình trên

Dễ thấy x=5 thỏa (1).Vì vậy ta đưa phương trình trên về dạng (x-5)f(x)=0, ,vì vậy ta cần làm xuất nhân tử chung x-5 từ vế trái của phương trình bằng phương pháp liên hợp. Muốn vậy tìm hai số a , b > 0 sao cho hệ phương trình sau có nghiệm x=5.

3 1 0 4

6 0 1

x a a

b x b

  + − = =   ⇒   − − = =    

Lời giải : Txđ 1 6 3 x − ≤ ≤

(1) ⇔ 2 3 5 5 ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0 ( 5)(3 1) 0 3 1 4 1 6 x x x x x x x x x x − − + − + − − + − − = ⇔ + + − + = + + + −

⇔

5 0 5

1 1 (3 1) 0(*) 3 1 4 1 6

x x

x x x

− = ⇔ =    + + + =  + + + − 

Ta thấy phương trình (*) vô nghiệm với 1 6 3 x − ≤ ≤ .Vậy x=5 là nghiệm duy nhất .

Ví dụ 6: Giải phương trình 2 3 5x 1 9 x 2x 3x 1 −+ − = + − (HSG K12 Hà Nội -2012)

Phân tích :Tương tự ta thấy x=1 là nghiệm ,ngoài cách làm như trên chúng ta có thể làm nhanh

như sau:Thay x =1 vào 5 1 x − ta được 2, vào 3 9 x − ta được 2 vì thế ta tách như sau.

Lời giải :Đk x 1/ 5 ≥ Biến đổi phương trình

( ) ( ) ( ) 2 3

2 3 3

5 x 1 1 x 5x 1 2 9 x 2 2x 3x 5 (x 1)(2x 5) 5x 1 2 (9 x) 2 9 x 4

− − ⇔ −− + − − = + …