Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Một số phương pháp giảI phương trình vô tỉ

1.Phương pháp đánh giá Ví dụ 1: Giải phương trình. = 4 – 2x – x2 2 2 3 6 7 5 10 14 x x x x      Giải: VÕ trái :

+ = 5  

2 3 1 4 x    

2 5 1 9 4 9 x    

VÕ phải : 4 – 2x –x2 = 5 – (x+1)2 ≤ 5. Vậy pt có nghiệm khi: vÕ trái = vÕ phải = 5. x+ 1 = 0  x = -1. Ví dụ 2: Giải phương trình. 3 2 1 3 x x    Giải : + Điều kiện : x≥ -1 Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phương trình. Với x > 3 thì > 1 ; >2 nên vÕ trái của phương trình lớn hơn 3. 3 2 x  1 x  Với -1 ≤ x < 3 thì < 1 ; < 2 nên vÕ trái của phương trình nhỏ 3 2 x  1 x  hơn 3. Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2: Giải phương trình: + =-16x2-8x+1 (1)  3 4x 1 4  x Giải

ĐK: (*) 4 3 4 1    x

Ta có  

2 3 4 4 1 3 4 2 (3 4 )(1 4 ) 1 4

4 2 (3 4 )(1 4 ) 4

x x x x x x

x x

        

    

(2) 2 4 1 4 3      x x Lại có : -16x2-8x+1=2-(4x+1)2 2 (3)  Từ (2) và (3) ta có:



 

   

    

2 1 8 16

2 4 1 4 3 )1(

2 x x

x x



 

  

       

0 1 8 16

4 4 1 ) 4 1 )( 4 3 ( 2 4 3

2 x x

x x x x

(thoả mãn(*)) 





 

   

4

1

0 ) 4 1 )( 4 3 (

x

x x

  



 





 

   





 





4 1

4 1 4 3

x

x

x

4 1   x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 4 1   x

ThuVienDeThi.com

Luyện tập Giải các phương trình sau: 1) x x x x x 4 4 3 8 4 1 4 2 2        

2) 2 1 5 2 2      x x x

2. Phương pháp đặt ẩn phụ VD1:Giải phuơng trình:

3 ) 8 )( 1( 8 1        x x x x Giải C1: ĐK: 8 1    x

Đặt (đk ) x x t     8 1 0  t

) 8 )( 1( 2 8 1 2 x x x x t        

2

9 ) 8 )( 1(

2      t x x

Khi đó phương trình đã cho trở thành: 3 2

9 2

  t t

0 15 2 2     t t







   3

5

t

t

Với t=3, ta có: 3 8 1     x x 9 ) 8 )( 1( 2 8 1         x x x x 0 ) 8 )( 1(     x x

(thoả mãn (*)) 





   8

1 x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:x1=-1 và x2=8

C2: ĐK: 8 1    x

Đặt ( ) 

 

 

 

x v

x u

8

1 0 ,  v u



 

 

  

x v

x u

8

1

2

2

9 2 2    v u

Ta có hệ phương trình:   

  

 

3 9 2 2

uv v u

v u

  

  

   

6 ) ( 2

9 2 ) ( 2

uv v u

uv v u

  

 



  

        



2 6

9 2 2 6

2

uv v u

uv uv



 

  

  

2 6

0 ) 20 (

uv v u

uv uv

  

 



  





 



2 6

20 0

uv v u

uv uv

ThuVienDeThi.com

(loại)

Với ta có: hoặc   



 

0

3 uv

v u

  





3

0 v u

  





0

3 v u

+)

  





0

3 v u

  

 

   0 8

9 1

x x 8  x

+):   





3

0 v u

  

 

   9 8

0 1

x

x  1  x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x1=1 và x2=8 VD 2: Giải phương trình

1 2 2 1 )1 4 ( 2 2      x x x x Giải Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(1) 1 2 )1 ( 2 1 )1 4 ( 2 2       x x x x

Đặt (đk t >1), phương trình (1) trở thành: 1 2   x t (4x-1)t=2t2+2x-1 2t2-(4x-1)t+2x-1=0 (2)  Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn t, khi đó phương trình (2) có: R x x x x           ,0 ) 3 4 ( )1 2 ( 8 )1 4 ( 2 2

Phương trình (2) ẩn t có các nghiệm là:

t1=2x-1 và t2= (loại) 2 1

Với t1=2x-1, ta có: 1 2 1 2    x x

  

  

   2 2 )1 2 ( 1

0 1 2

x x

x



 

 

 

0 4 3

2 1

2 x x

x

 



 





 













3 4 0 2 1

x

x

x

3 4  x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 3 4  x

Lưu ý : phương trình trên có thể giải theo cách đưa về phương tích

VD3: Giải phương trình

1 1 2 3     x x Giải ĐK: (*) 1  x

    





  

  

   

 





7 20

3 0

v u uv

v u uv

ThuVienDeThi.com