Chuyên đề Vectơ và các phép toán

Bài 1.

Vectơ và các phép toán

1. Các khái niệm cơ bản 1.1 Dẫn dắt đến khái niệm vectơ

Vectơ đại diện cho những đại lượng có hướng và có độ lớn ví dụ: lực, vận tốc,…

1.2 Định nghĩa vectơ và các yếu tố liên quan.

Định nghĩa: Vectơ là đọan thẳng có hướng, tức là trong hai đầu mút của đoạn thẳng, đã chỉ rõ

điểm nào là điểm đầu, điểm nào là điểm cuối. Ký hiệu , MN AB 

hoặc ,a b 

.

Vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là vectơ – không. Ví dụ: , AA BB 

,…

Giá của vectơ AB 

(khác vectơ không) là đường thẳng đi qua A, B.

Độ dài của vectơ AB 

là độ dài đoạn thẳng AB, ký hiệu là AB 

. Ta có AB AB = 

. Độ dài vectơ

không bằng 0.

1.3 Hai vectơ cùng phương, cùng hướng và hai vectơ bằng nhau.

Hai vectơ cùng phương khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Quy ước: Vectơ – không cùng phương với mọi vectơ

Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Quy ước: vectơ – không cùng hướng với mọi vectơ

Hai vectơ bằng nhau khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Mọi vectơ - không đều bằng nhau và đuợc ký hiệu là 0 

1.4 Dựng một vectơ bằng vectơ cho trước.

Cho vectơ a 

và điểm M. Khi đó ta có thể dựng được duy nhất điểm N sao cho MN a =  

.

Chú ý:

+ Chứng minh hai điểm trùng nhau: AM AM M M ′ ′ = ⇔ ≡  

+ Chứng minh 3 điểm thẳng hàng: , AB AC 

cùng phương khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng.

2. Định nghĩa các phép toán trên vectơ 2.1 Phép cộng hai vectơ

Cho hai vectơ ,a b 

. Ta dựng vectơ AB a =  

, vectơ BC b =  

. Khi đó vectơ AC 

là vectơ tổng

của hai vectơ ,a b 

. Ký hiệu AC a b = +   

. Vậy ta có AC AB BC = +   

.

2.2 Phép trừ hai vectơ

Cho vectơ a 

, khi đó tồn tại vectơ b 

sao cho 0 a b + =   

. Ta gọi b 

là vectơ đối của vectơ a 

. Ta

ký hiệu vectơ đối của vectơ a 

là a −



. Vậy ( ) 0 a a + − =   

. Ví dụ vectơ đối của vectơ AC 

là

CA 

, vì 0 AC CA AA + = =    

. Vậy AC CA = −  

.

Cho hai vectơ ,a b 

. Khi đó vectơ

www.VNMATH.com

ThuVienDeThi.com

( ) a b + −  

được gọi là vectơ hiệu của hai vectơ a 

và b 

kí hiệu là a b −  

.

Như vậy ta có: ( ) a b a b − = + −    

.

Từ đó ta có AB AC AB CA CB − = + =     

. 2.3 Phép nhân vectơ với một số.

Cho số thực k và vectơ a 

( 0 ≠ 

). Khi đó phép nhân vectơ a 

với số thực k là một vectơ xác định như sau:

.k a 

cùng hướng với a 

nếu k ≥ 0 và ngược hướng a 

khi k < 0.

Và . . k a k a =  

Đặc biệt: .0 0 k k = ∀  

Chú ý:

0 . 0 0

k k a a

=  = ⇔ = 

  

Chú ý quan trọng: không có định nghĩa phép chia hai vectơ, do đó không có

. b b k a k a = ⇒ =

   

3. Các công thức cơ bản 3.1 Quy tắc 3 điểm, n điểm.

Cho 3 điểm A, B, C ta luôn có AB BC AC + =    (1.1)

Cho n điểm A1, A2, …, An, khi đó ta có 1 2 2 3 1 1 ... n n n A A A A A A A A − + + + =    

(1.2)

Quy tắc hình bình hành.

Cho hình bình hành ABCD. Khi đó ta có AB AD AC + =    (1.3)

3.2 Mối quan hệ giữa hai vectơ cùng phương.

Hai vectơ ,a b 

( ) 0 b ≠  cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho . a k b =  

Từ đây suy ra nếu ,a b 

không cùng phương thì . . 0 0 x a y b x y + = ⇔ = =   

3.3 Định lý về biểu diễn một vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Cho hai vectơ ,a b 

không cùng phương. Khi đó với vectơ c  bất kì thì tồn tại duy nhất hai số x, y

sao cho . . c x a y b = +   

Hệ quả: Cho 3 vectơ , , a b c 

không cùng phương. Chứng minh rằng tồn tại 3 số thực x, y, z

không đồng thời bằng 0 sao cho . . . 0 x a y b z c + + =    

. Bộ số (x, y, z) có phải duy nhất không? Vì

sao?

3.4 Công thức điểm chia và hệ quả.

Cho hai điểm A, B phân biệt. M là điểm thỏa ( ) . 1 MA k MB k = ≠   . Khi đó với điểm O bất kì ta luôn

có . 1 OA k OB OM k − = −

  

(1.4)

Hệ quả 1 Khi k = - 1 ta có công thức đường trung tuyến: ( ) 1 2 OM OA OB = +    …