Các bài toán lý thú về sự liên hệ giữa đẳng thức và bất đẳng thức

CÁC BÀI TOÁN LÝ THÚ VỀ SỰ LIÊN HỆ GIỮA ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

Nguyễn Duy Liên -Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc

Thế giới chúng ta đang sống luôn tiềm ẩn vô vàn những quy luật tự nhiên và xã hội, khách quan cũng như chủ quan. Việc nắm bắt, vận dụng những quy luật đó đã trở thành chìa khóa giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong khoa học nói riêng và trong cuộc sống nói chung.

Bất đẳng thức là một dạng toán khó thường xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng như thi tuyển sinh đầu cấp học trung học phổ thông, thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp trung học cơ sở, trung học phổ thông và thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế…Có người tạo ra bài toán mới bất đẳng thức rất ngẫu nhiên từ việc đi giải các bài toán của người khác . Có người lại tạo ra bài toán mới bất đẳng thức từ các đẳng thức quen thuộc với đa số mọi người…Bài viết nhỏ này tôi giới thiệu về một số đẳng thức và ứng dụng vào giải quyết các bài toán bất đẳng thức. Để bài viết được ngắn gọn, tôi xin không chứng minh lại một số kiến thức cơ bản.

I. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA .

Đẳng thức 1. , với mọi .       2 2 2 2 2 2 a b c d ac bd ad bc       , , , a b c d A

Sau đây là một số bài toán áp dụng của đẳng thức 1.

Ví dụ 1:(Wolfgang Berndt). Chứng minh rằng với mọi số thực ta đều có , , a b c

         2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 abc a b c a b c         

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có

            2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b ab c c                

, suy ra      1 1 1 a b c ab c      

(đpcm)          2 1 1 1 1 1 1 1 VT abc a b c ab c a b c VP             

Ví dụ 2:(Titu Andresscu,Gabriel Dospinescu). Giả sử là các số thực thỏa , , , a b c d mãn điều kiện , chứng minh bất đẳng thức sau      2 2 2 2 1 1 1 1 16 a b c d     

3 5 ab bc ca da ac bd abcd        

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có

ThuVienDeThi.com

             2 2 2 2 2 2 2 2 16 1 1 1 1 1 1 a b c d ab a b cd c d                               

2 2 1 1 1 ab cd a b c d ab bc cd da ac bd abcd                  

từ đó có điều phải chứng minh. 4 1 4 ab bc cd da ac bd abcd        

Ví dụ 3:(KTĐT CVP).Giả sử là các số thực,chứng minh bất đẳng thức sau , , , a b c d

.         2 2 2

, , , 1 1 1 2 2

a b c d a b c ab bc cd da ac bd           

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz, ta có

            2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b ab c a b c ab                    

Hoàn toàn tương tự ta cũng có

       2 2 2 1 1 1 1 , b c d b c d bc               2 2 2 1 1 1 1 , c d a c d a cd       

. Từ đó suy ra        2 2 2 1 1 1 1 . d a b d a b da       

,         2 2 2

, , , 1 1 1 2 2

a b c d a b c ab bc cd da ac bd           

Đẳng thức xẩy ra khi bài toán được chứng minh 3 a b c d    

Đẳng thức 2. , với mọi . 1 1 1 1 1 1 1 a ab b bc c ca          , , , 1 a b c abc   A

Sau đây là một số bài toán áp dụng của đẳng thức 2.

Ví dụ 4: Cho các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng. , , a b c 1 abc 

.       2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b b c c a            

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

tương tự ta cũng được     2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 a a b a ab a b

         

ThuVienDeThi.com